Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.Exercícios Adicionais e Avançados - Ex. 28

Hipervolume Aprendemos que 1ab 1 dx é o comprimento

do intervalo [a, b] na reta real (espaço unidimensional), 11R

1 dA é a área da região R no plano xy (espaço bidimensional) e

111D 1 dV é o volume da região D no espaço tridimensional

(espaço xyz). Poderíamos continuar: Se Q fosse uma região

no espaço quadridimensional (espaço xyzw), então 1111Q 1

dV é o “hipervolume” de Q. Utilize suas habilidades de generalização e um sistema de coordenadas cartesianas do espaço

quadridimensional para encontrar o hipervolume dentro da

esfera tridimensional unitária x2 + y2 + z2 + w2 = 1.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Nesse exercício nos é exposto um conceito de "hipervolume", que seria uma integral quádrupla.Usaremos nossa noção de generalização e o sistema de coordenadas cartesianas de umespaço 4-dimensional para encontrarmos o hipervolume dentro da esfera 3-dimensional unitária x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1 .Vamos começar? Acompanhe com atenção!

Passo 2

Precisamos definir alguns valores antes de encontrarmos o hipervolume.O comprimento do segmento de reta "unitário" é: L = 2 ∫ 0 1   d x = 2 ;A área do círculo unitário é: A = ∫ 0 1   ∫ 0 1 - x 2   d y d x = π ;O volume da esfera unitária será: V = 8 ∫ 0 1   ∫ 0 1 - x 2   ∫ 0 1 - x 2 - y 2   d z d y d x = 4 3 π ;

Passo 3

Teremos então que o hipervolume será:

V hyper  = 16 ∫ 0 1   ∫ 0 1 - x 2   ∫ 0 1 - x 2 - y 2   ∫ 0 1 - x 2 - y 2 - z 2   d w d z d y d x

Observação: a equação possui uma solução não-trivial. Com o uso de um software matemático, para fins de conhecimento, chegamos à estimativa que essa integral é:

V hyper  = 16 ∫ 0 1   ∫ 0 1 - x 2   ∫ 0 1 - x 2 - y 2   ∫ 0 1 - x 2 - y 2 - z 2   d w d z d y d x = π 2 2

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

Use a Regra do Ponto Médio para as integrais triplas (Exercício 24) para estimar o valor da integral. Divida B em oito subcaixas de igual tamanho. ∭ B 1 ln ⁡ ( 1 + x + y + z ) d V onde B = x , y , z |
Centro de massa Um sólido de densidade constante é delimitado abaixo pelo plano z = 0, acima pelo cone z = r, r ≥ 0,e dos lados pelo cilindro r = 1. Encontre o centro de massa.
Encontre o valor médio da função ƒ(r, u, z) = r sobre a esferasólida delimitada pela esfera r2 + z2 = 1. (Esta é a esfera x2 + y2+ z2 = 1.)
Centroide Encontre o centroide da região no primeiro octante que é delimitado acima pelo cone z = 2x2 + y 2, abaixo pelo plano z = 0 e dos lados pelo cilindro x2 + y2 = 4 e osplanos x = 0 e y = 0.