Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 68

Centroide Encontre o centroide da região no primeiro octante que é delimitado acima pelo cone z = 2x2 + y 2, abaixo pelo plano z = 0 e dos lados pelo cilindro x2 + y2 = 4 e os

planos x = 0 e y = 0.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício precisaremos encontrar o centro de massa (centroide) de um sólido com densidade constante. Relembrando os conceitos e as fórmulas para coordenadas cartesianas, vamos aplicar este conhecimento em coordenadas cilíndricas.Sabemos também que para calcular o centro de massa precisaremos da massa e dos primeiros momentos em relação aos planos coordenados.

Passo 2

Sabemos que o sólido está na região do primeiro octante e limitado acima pelo cone z = x 2 + y 2 e abaixo pelo plano z = 0 . Temos uma limitação lateral, dada pelo cilindro de equação x 2 + y 2 = 4 e pelos planos x = 0 e y = 0 .

Vamos definir os limitantes a serem utilizados nos cálculos.O intervalo de r é definido pela equação do cilindro, logo:

0 ≤ r ≤ 2

Para z, o intervalo é definido pelo raio do cone, então:

0 ≤ z ≤ r

Por fim, teremos o ângulo θ com o intervalo no primeiro octante:

0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 3

Vamos calcular a massa do sólido com densidade igual a 1? Veja como faz! Em coordenadas cilíndricas, teremos a massa expressa da seguinte maneira:

M   = ∫ 0 π / 2     ∫ 0 2     ∫ 0 r     d z r d r d θ   = ∫ 0 π / 2     ∫ 0 2     r 2 d r d θ   = 8 3 ∫ 0 π / 2     d θ   = 4 π 3

Passo 4

Os primeiros momentos em relação aos planos coordenados são:

M y z   = ∫ 0 π / 2     ∫ 0 2     ∫ 0 r     x d z r d r d θ   = ∫ 0 π / 2     ∫ 0 2     r 3 c o s ⁡ θ d r d θ   = 4 ∫ 0 π / 2     c o s ⁡ θ d θ   = 4 M x z   = ∫ 0 π / 2     ∫ 0 2     ∫ 0 r     y d z r d r d θ   = ∫ 0 π / 2     ∫ 0 2     r 3 s e n ⁡ θ d r d θ   = 4 ∫ 0 π / 2     s e n ⁡ θ d θ   = 4 M x y   = ∫ 0 π / 2     ∫ 0 2     ∫ 0 r     z d z r d r d θ   = 1 2 ∫ 0 π / 2     ∫ 0 2     r 3 d r d θ   = 2 ∫ 0 π / 2     d θ   = π

Passo 5

O centroide do sólido ( x ‾ , y ‾ , z ‾ ) pode ser calculado dividindo o primeiro momento pela massa. Então:

x ‾   = M y z M   = 3 π y ‾   = M x z M   = 3 π z ‾   = M x y M   = 3 4

Resposta

Portanto, o centroide do sólido desejado nesta atividade é o ponto 3 π , 3 π , 3 4 .

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 11 a 19, calcular o volume do sólido delimitado pelas superfícies dadas.13. z = 2 x 2 + y 2 e z = 4 - 3 x 2 - y 2 .
Sejam B ⊂ R 3 e f x , y , z uma função contínua em B . Seja ( x 0 , y 0 , z 0 ) um ponto interior de B . Para cada natural n , seja B n uma bola de centro x 0 , y 0 , z 0 e raio r n , com B n ⊂ B . Su
Encontre o valor médio da função ƒ(r, f, u) = r cos f sobre asemiesfera sólida r ≤ 1, 0 ≤ f ≤ p/2.
Encontre o valor médio da função ƒ(r, f, u) = r sobre a esferasólida r ≤ 1.
Encontre o valor médio da função ƒ(r, u, z) = r sobre a regiãodelimitada pelo cilindro r = 1 entre os planos z = –1 e z = 1