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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 64

Encontre o valor médio da função ƒ(r, u, z) = r sobre a esfera

sólida delimitada pela esfera r2 + z2 = 1. (Esta é a esfera x2 + y2

+ z2 = 1.)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício nosso objetivo é calcular o valor médio de uma função no espaço sobre uma regiâo D . Já sabemos calcular valores médios para coordenadas cartesianas, certo? Agora vamos nos basear neste conhecimento e calcular o valor médio em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Sabemos que a função é descrita por f ( r , θ , z ) = r sobre uma bola sólida limitada por uma esfera com equação r 2 + z 2 = 1 . Relembrando que r 2 = x 2 + y 2 .Logo a equação da esfera pode ser reescrita como x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

Passo 3

Neste passo precisamos definir os limitantes da integral.O intervalo de r é definido pelo raio da esfera, logo:

0 ≤ r ≤ 1

Para z teremos o intervalo definido pela equação r 2 + z 2 = 1 , então:

- 1 - r 2 ≤ z ≤ 1 - r 2

Por fim, teremos 0 ângulo θ com o intervalo:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 4

A integral que descreve o valor médio de F sobre D é dada por:

 Valor médio    = 1 4 π 3 ∫ 0 2 π     ∫ 0 1     ∫ - 1 - r 2 1 - r 2     r 2 d z d r d θ   = 3 4 π ∫ 0 2 π     ∫ 0 1     2 r 2 1 - r 2 d r d θ   = 3 2 π ∫ 0 2 π     1 8 s e n - 1 ⁡ r - 1 8 r 1 - r 2 1 - 2 r 2 0 1 d θ   = 3 16 π ∫ 0 2 π     π 2 + 0 d θ  Valor médio    = 3 32 ∫ 0 2 π     d θ   = 3 32 ( 2 π )   = 3 π 16

Resposta

Portanto, concluímos que a resposta deste exercício é o valor médio da função igual a 3 π 16 .

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