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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 49

Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.

Mostre que qualquer função da forma

z = f x + a t + g ( x - a t )

é solução da equação de onda

∂ 2 z ∂ t 2 = a 2 ∂ 2 z ∂ x 2

[Sugestão: Tome u = x + a t , v = x - a t ]

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo certo?

Nessa questão nós temos a função

z = f x + a t + g x - a t

e queremos mostrar que ela é solução da equação de onda, ou seja, ela satisfaz a equação:

∂ 2 z ∂ t 2 = a 2 ∂ 2 z ∂ x 2

Então, para resolver essa questão nós vamos calcular as derivadas de segunda ordem de z com relação a t e x e depois substituiremos na equação acima.

Tranquilo? Vem comigo então.

Passo 2

Tomando a sugestão do enunciado, vamos usar a substituição   u = x + a t e v = x - a t .

Com isso, para calcular ∂ 2 z / ∂ t 2   nós vamos precisar da regra da cadeia, visto que

z = z = f u x , t + g v x , t

Para uma variável, se temos uma função f ( x ) , onde x = x ( t ) , a derivada de f com relação a t será:

d f x d t = d f d x ⋅ d x d t

Assim, se temos uma função z = f ( u , v ) , onde u e v são funções de variáveis x   e t , fazemos a mesma coisa para cada variável e somamos os resultados:

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ u ⋅ ∂ u ∂ t +   ∂ z ∂ v ⋅ ∂ v ∂ t

Da mesma forma, a derivada com relação a x será:

∂ z ∂ x = ∂ z ∂ u ⋅ ∂ u ∂ x +   ∂ z ∂ v ⋅ ∂ v ∂ x

Dada a substituição u = x + a t e v = x - a t , teremos:

∂ u ∂ x = 1

∂ v ∂ x = 1

∂ u ∂ t = a

∂ v ∂ t = - a

Agora vamos às contas...

Passo 3

Agora temos a função

z = f ( u ) + g ( v )

Derivando parcialmente z em função de x

∂ z ∂ x = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ z ∂ v ∂ v ∂ x

∂ z ∂ x = f ' ( u ) ( 1 ) + g ' ( v ) ( 1 )

Derivando novamente, como a função f só depende de u , se derivarmos em relação a v vai dar 0 , do mesmo modo vale para g em relação a u , então

∂ 2 z ∂ x 2 = f ' ' u ∂ u ∂ x + 0 + g ' ' v ∂ v ∂ x + 0

∂ 2 z ∂ x 2 = f ' ' u + g ' ' v

Passo 4

Agora derivando parcialmente z em função de t

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ t + ∂ z ∂ v ∂ v ∂ t

∂ z ∂ t = f ' ( u ) a - g ' ( v ) a

Derivando novamente

∂ 2 z ∂ t 2 = f ' ' ( u ) ∂ u ∂ t a - g ' ' ( v ) ∂ v ∂ t a

∂ 2 z ∂ t 2 = f ' ' u a 2 + g ' ' v a 2

Passo 5

Se colocarmos a 2 em evidencia na segunda derivada de z em relação a t

∂ 2 z ∂ t 2 = a 2 f ' ' u + g ' ' v

Mas temos que

f ' ' u + g ' ' v = ∂ 2 z ∂ x 2

Então

∂ 2 z ∂ t 2 = a 2 ∂ 2 z ∂ x 2

Resposta

Demonstração.

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Sejam z = z (x , y) , x = e^u cos ( v ) e y = e^u s e n ( v ) . Suponha que (del^2 z)/(del x^2) + (del^2 z)/(del y^2) = 0 . Calcule (del^2 z)/(del u) + (del^2 z)/(del v^2)
Suponha que z = z ( x , y ) satisfaça a equação x 2 ∂ 2 z x , y ∂ x 2 + 2 x y ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y - x ∂ z x , y ∂ x = x 3 y 2 . Fazendo a mudança de variáveis x = e u , y = e v . Calcule ∂ 2 z x , y ∂
Verifique que a mudança de variáveis x = s c o s θ - t s e n ( θ ) , y = s sen ⁡ θ + t c o s ( θ ) com θ constante , transforma a equação ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 ( u = u ( x , y ) ) Em ∂ 2 u ∂ s
Verifique que a mudança de variáveis u = x + y , v = y + 2 x transforma a equação ∂ 2 z u , v ∂ x 2 - 3 ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y + 2 ∂ 2 z x , y ∂ y 2 = 0 Em, ∂ 2 z u , v ∂ u ∂ v = 0
a) Ache uma função u ( x , y ) da forma u x , y = F x 2 + y 2 que satisfaça a equação de Laplace ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 b) Faça a mesma coisa para funções de três ou mais variáveis.