Identificar as curvas a seguir e parametrizá-las. Esboçar o seu gráfico.

c) x^2 + 2y^2 - 4x - 2y = 0

Passo 1

Então galerinha, o primeiro passo de todos aqui é completar os quadrados em x e em y para vermos o formato que que a nossa equação vai ficar, tudo bem? A equação que nos foi dada é:

x 2 + 2 y 2 - 4 x - 2 y = 0

Completando os quadrados, teremos o seguinte:

x - 2 2 + 2 y - 1 2 2 = 1 2 + 4

x - 2 2 9 2 + y - 1 2 2 9 4 = 1

Pela equação que encontramos, podemos concluir que se trata de uma equação de elipse com:

C e n t r o : 2 , 1 2

S e m i e i x o s : a = 3 2 2   b = 3 2

Até aqui tudo tranquilão, certo? Então vamos continuar!

Passo 2

Para determinarmos uma equação vetorial, temos que lembrar que uma equação desse tipo para uma elipse é dado pela seguinte equação:

r → t = x 0 + a . cos ⁡ t i → + y 0 + b . s e n   t j →

Para a nossa elipse, temos que:

x 0 = 2 ,   y 0 = 1 2 ,   a = 3 2 2   e   b = 3 2

Substituindo na equação vetorial, teremos:

r → t = 2 + 3 2 2 . cos ⁡ t i → + 1 2 + 3 2 . s e n   t j →

Sendo assim, a representação paramétrica será:

x = 2 + 3 2 2 . cos ⁡ t y = 1 2 + 3 2 . s e n   t

Passo 3

Se esboçarmos o gráfico da elipse que encontramos, teremos o seguinte:

E esse é o nosso resultado, galera!

Resposta

Elipse: x - 2 2 9 2 + y - 1 2 2 9 4 = 1

Parametrização: x = 2 + 3 2 2 . cos ⁡ t y = 1 2 + 3 2 . s e n   t

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