Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.7 - Ex. 7
Suponha que seja derivável até a 2ª ordem em e tal que para todo .
- Prove que, se for ponto de máximo local, então .
- Prove que, se for ponto de mínimo local, então .
- Prove que para todo .
(Sugestão. Observe que )
Passo 1
Vemos a partir da equação que:
Portanto não é ponto crítico. Assim, se é ponto de máximo local:
Para um ponto ser de máximo local :
Assim, para isso acontecer .
Passo 2
Olhando a letra a.), percebemos que para um ponto ser de mínimo local :
Assim, para ser ponto de mínimo local.
Passo 3
Vamos supor que exista tal que . Primeiro vamos supor que . De e da continuidade de , seguindo o teorema da conservação do sinal e que , com , tal que em .
Assim, é decrescente em e, portanto, existe , com . Como existe , com . Assim, a função assumirá um mínimo local para , uma vez , que está em desacorodo com o item b.). Se fizermos a mesma coisa para um tal que , também, não poderá ocorrer com . Logo, , para todo .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)