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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.7 - Ex. 5

Seja f derivável em R e seja g dada por g x = f x x , x ≠ 0 . Suponha que p é ponto de máximo local de g .

  1. Prove que p f ' p - f p = 0 .
  2. Prove que a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa p passa pela origem.

Passo 1

A primeira coisa que devemos lembrar é que para um ponto ser máximo local a sua primeira derivada tem que ser zero, portanto:

g ' p = 0 .

Agora vamos definir a função g x :

g ' x = f x x '

Aplicando a regra do quociente da derivada:

g ' x = x f ' x - f x x 2

Substituindo o valor de x = p .

g ' p = p f ' p - f p p 2 = 0

Portanto,

p f ' p - f p = 0

Passo 2

Vamos começar lembrando da equação da tangente:

y - f p = f ' p x - p

y = x f ' p - p f ' p + f p

y = x f ' p + p f ' p - f p

Portanto,

y = x f ' p + 0 = x f ' p

Se fizermos x = 0 :

y = 0 ∙ f ' p = 0

Portanto, a reta tangente passa pela origem.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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