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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.5 - Ex. 50c

Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:

c) z = x y 2 x 2 + y 2

Passo 1

Devemos analisar as derivadas parciais de z em relação a x e y :

∂ z ∂ x = y 2 ⋅ x 2 + y 2 - 2 x ⋅ ( x y 2 ) x 2 + y 2 2 = x 2 y 2 + y 4 - 2 x 2 y 2 x 2 + y 2 2 = y 4 - x 2 y 2 x 2 + y 2 2

∂ z ∂ y = 2 x y ⋅ x 2 + y 2 - 2 y ⋅ ( x y 2 ) x 2 + y 2 2 = 2 x 3 y + 2 x y 3 - 2 x y 3 x 2 + y 2 2 = 2 x 3 y x 2 + y 2 2

As derivadas não são diferenciáveis em (0,0), mas nos demais pontos as derivadas parciais de z em relação a x e y são contínuas, z é diferenciável em R 2 - { 0,0 } .

Resposta

z é diferenciável em R 2 - { 0,0 } .

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