Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 23

Seja z = f (x , y) , x = r c o s t , y = r s e n t . Mostrar que

((del z)/(del x))^2 + ((del z)/(del y))^2 = ((del z)/(del r))^2 + (1)/(r^2) ((del z)/(del t))^2

Passo 1

Nossa expressão do enunciado é da forma :

z (r , t) = f (x (r , t) , y (r , t))

Analisando a expressão acima, vemos que se trata do 2º caso da regra da cadeia, portanto

O primeiro termo que o enunciado nos pede é obtido se derivarmos em relação a x

(del z)/(del r) = (del f)/(del x) (del x)/(del r) + (del f)/(del y) (del y)/(del r)

Para calcularmos o outro termos, precisamos derivar em relação a y

(del z)/(del t) = (del f)/(del x) (del x)/(del t) + (del f)/(del y) (del y)/(del t)

Passo 2

Agora, vamos calcular cada derivada parcial :

(del f)/(del x) = (del f)/(del x)

(del f)/(del y) = (del f)/(del y)

(del x)/(del r) = c o s t

(del y)/(del r) = s e n t

(del x)/(del t) = - r s e n t

(del y)/(del t) = r c o s t

Passo 3

Substituindo nas nossas expressões

(del z)/(del r) = (del f)/(del x) (del x)/(del r) + (del f)/(del y) (del y)/(del r)

(del z)/(del r) = ((del f)/(del x)) (c o s t) + ((del f)/(del y)) (s e n t) ( i )

(del z)/(del t) = (del f)/(del x) (del x)/(del t) + (del f)/(del y) (del y)/(del t)

(del z)/(del t) = r (((del f)/(del x)) (- s e n t) + ((del f)/(del y)) (c o s t)) ( i i )

Elevando (i i) e (i) ao quadrado e somando, o lado esquerdo da nossa equação fica:

((del z)/(del r))^2 + (1)/(r^2) ((del z)/(del t))^2 = (((del f)/(del x)) (c o s t))^2 + (((del f)/(del y)) (s e n t))^2 + 2 ((del f)/(del y)) (s e n t) ((del f)/(del x)) (c o s t) +

+ (((del f)/(del x)) (- s e n t))^2 + (((del f)/(del y)) (c o s t))^2 + 2 ((del f)/(del y)) (c o s t) ((del f)/(del x)) (- s e n t)

Os dois termos que estão multiplicados por 2 vao se cortar entre si e usando a relação trigonométrica fundamental s e n^2 t + cos^2 t = 1

Ficamos com:

((del z)/(del r))^2 + (1)/(r^2) ((del z)/(del t))^2 = ((del f)/(del x))^2 ( s e n^2 t + cos^2 t ) + ((del f)/(del y))^2 ( s e n^2 t + cos^2 t ) = ((del f)/(del x))^2 + ((del f)/(del y))^2

Resposta

((del z)/(del r))^2 + (1)/(r^2) ((del z)/(del t))^2 = ((del f)/(del x))^2 + ((del f)/(del y))^2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique. f x , y = x y x 2 + y 2 s ex , y ≠ 0,0 0 s ex , y = ( 0,0 )
Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique. f x , y = x 3 x 2 + y 2 s ex , y ≠ 0,0 0 s ex , y = ( 0,0 )
Verifique que a função dada é diferenciável.f (x , y) = arctg x y
Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique. f x , y = e 1 x 2 + y 2 - 1 s ex 2 + y 21 0 s ex 2 + y 2 ≥ 1
Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique. f x , y = x y 3 x 2 + y 2 s ex , y ≠ 0,0 0 s ex , y = ( 0,0 )