Seja z = f(x, y), x = r \* cost, y = r \* sent . Mostrar que

((∂z/∂x)^2 + (∂z/∂y)^2) = ((∂z/∂r)^2 + (1/r^2) \* (∂z/∂t)^2)

Passo 1

Nossa expressão do enunciado é da forma :

z r , t =   f x r , t , y r , t

Analisando a expressão acima, vemos que se trata do 2º caso da regra da cadeia, portanto

O primeiro termo que o enunciado nos pede é obtido se derivarmos em relação a x

∂ z ∂ r =   ∂ f ∂ x ∂ x ∂ r + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ r

Para calcularmos o outro termos, precisamos derivar em relação a y

∂ z ∂ t =   ∂ f ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ t

Passo 2

Agora, vamos calcular cada derivada parcial :

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ x

∂ f ∂ y = ∂ f ∂ y

∂ x ∂ r = c o s t

∂ y ∂ r = s e n t

∂ x ∂ t = - r s e n t

∂ y ∂ t =   r c o s t

Passo 3

Substituindo nas nossas expressões

∂ z ∂ r =   ∂ f ∂ x ∂ x ∂ r + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ r

∂ z ∂ r = ∂ f ∂ x c o s t + ∂ f ∂ y s e n t       ( i )

∂ z ∂ t =   ∂ f ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ t

∂ z ∂ t =   r ∂ f ∂ x - s e n t + ∂ f ∂ y   c o s t         ( i i )

Elevando i i e   i ao quadrado e somando, o lado esquerdo da nossa equação fica:

∂ z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ z ∂ t 2 = ∂ f ∂ x c o s t 2 + ∂ f ∂ y s e n t 2 + 2 ∂ f ∂ y s e n t ∂ f ∂ x c o s t +

                                                                        + ∂ f ∂ x - s e n t 2 + ∂ f ∂ y   c o s t 2 + 2 ∂ f ∂ y   c o s t ∂ f ∂ x - s e n t

Os dois termos que estão multiplicados por 2 vao se cortar entre si e usando a relação trigonométrica fundamental s e n 2 t + cos 2 ⁡ t = 1

Ficamos com:

∂ z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ z ∂ t 2 =   ∂ f ∂ x 2 ( s e n 2 t + cos 2 ⁡ t ) +   ∂ f ∂ y 2 ( s e n 2 t + cos 2 ⁡ t ) = ∂ f ∂ x 2 +   ∂ f ∂ y 2

Resposta

∂ z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ z ∂ t 2 = ∂ f ∂ x 2 +   ∂ f ∂ y 2

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