Uma partícula desloca-se sobre o eixo 0 x com velocidade v(t) = sen(2t) , t >= 0 . Calcule o espaço percorrido entre os instantes t = 0 e t = pi .

Passo 1

O espaço percorrido pela partícula é:

∆ s = ∫ 0 π sin ⁡ 2 t d t

Olhando o gráfico de velocidade:

É possível observar que a velocidade é positiva no intervalo [ 0 , π / 2 [ e negativa no intervalo ] π / 2 , π ] .

Passo 2

Assim, o espaço percorrido fica:

∆ s = ∫ 0 π sin ⁡ 2 t d t = ∫ 0 π / 2 sin ⁡ 2 t d t - ∫ π / 2 π sin ⁡ 2 t d t

∆ s = - cos ⁡ 2 t 2 t ' 0 π / 2 - - cos ⁡ 2 t 2 t ' π / 2 π

∆ s = - cos ⁡ 2 t 2 0 π 2 + cos ⁡ 2 t 2 π / 2 π

∆ s = - cos ⁡ 2 ∙ π 2 2 - cos ⁡ 2 ∙ 0 2 + cos ⁡ 2 ∙ π 2 - cos ⁡ 2 ∙ π 2 2

∆ s = - cos ⁡ π 2 - cos ⁡ 0 2 + cos ⁡ 2 π 2 - cos ⁡ π 2

∆ s = - - 1 2 - 1 2 + 1 2 - - 1 2

∆ s = 1 + 1 = 2

Resposta

2

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