Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 2b

As integrais abaixo não podem ser calculadas exatamente, em termos de funções elementares, com a ordem de integração dada. Inverta a ordem de integração e faça os cálculos.

b   ∫ 0 1 ∫ x 1 s e n y y d y d x

Passo 1

E aí, galerinha!! Vamos lá com mais um exercício com o Responde Aí!! :D

Primeiro, como se deseja resolver o exercício invertendo a ordem de integração, vamos lembrar do Teorema de Fubini (que pode ser encontrado no livro DIOMARA - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS - 1 ª ED. (página 1 61 )) que diz que se a função z = f x ,   y for contínua em um retângulo R = a ,   b × c ,   d , então:

∫ ∫ R f x ,   y d x d y = ∫ a b ∫ c d f x ,   y d y d x = ∫ c d ∫ a b f x ,   y d x d y

Para regiões não retangulares, a diferença é que apenas uma das integrais terá constantes no seu limite de integração, enquanto a outra integral terá funções no limite de integração. Isso é mostrado em:

∫ ∫ R f x ,   y d x d y = ∫ a b ∫ c x d x f x ,   y d y d x = ∫ c d ∫ a y b y f x ,   y d x d y

Passo 2

Assim, tendo a integral dupla:

∫ 0 1 ∫ x 1 s e n y y d y d x

Podemos ver que ela representa uma região do tipo 1 , pois temos x limitado por duas constantes e y limitado por uma função de x . Queremos inverter a ordem de integração, ou seja, transformar a integral tal que represente uma região do tipo 2 (continua em y e deixar o intervalo de integração de x em função de y ). Mas ao fazer isso, precisamos trocar os intervalos de integração também.

Pra fazer essa troca dos limites de integração vamos esboçar o gráfico dessa região. Temos que:

0 ≤ x ≤ 1

E:

x ≤ y ≤ 1

O que pode ser representado na figura a seguir:

Quando fizermos a inversão, teremos y contínuo e x em função de y , ou seja:

0 ≤ y ≤ 1

E:

0 ≤ x ≤ y

Passo 3

Dessa forma, invertendo a ordem de integração, podemos escrever:

∫ 0 1 ∫ x 1 s e n y y d y d x = ∫ 0 1 ∫ 0 y s e n y y d x d y

Então, resolvendo a integral interna:

∫ 0 1 ∫ 0 y s e n y y d x d y = ∫ 0 1 s e n y y x | y 0 d y

Substituindo o intervalo de integração da integral resolvida:

⇒ ∫ 0 1 s e n y y y - 0 d y

Que pode ser reescrito como:

⇒ ∫ 0 1 s e n y d y

Passo 4

Logo, resolvendo essa integral:

∫ 0 1 s e n y d y = - cos ⁡ y | | 1 0

E substituindo o intervalo de integração:

⇒ - cos ⁡ 1 - cos ⁡ 0 = 1 - cos ⁡ 1

Resposta

∫ 0 1 ∫ x 1 s e n y y d y d x = 1 - cos ⁡ 1

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