Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 5b

Determine a área da região limitada pelas curvas:

, e .

Passo 1

E aí, galerinha!! Vamos lá com mais um exercício com o Responde Aí!! :D

Sabemos que a integral dupla representa geometricamente o volume de uma região no espaço. Então, como a área possui uma dimensão a menos que o volume, ela pode ser representada por uma única integral simples:

Assim, com as curvas dadas no enunciado, podemos determinar os limites de integração e a função de que representa a região.

Passo 2

Dessa forma, a primeira coisa a se fazer é o esboço da nossa região que é dada por:

Podemos perceber que ela possui uma mudança de forma em (uma curva à esquerda e um triângulo retângulo à direita). Então, iremos separá-la em duas regiões diferentes, sendo que a área de cada uma será representa por integrais diferentes.

O próximo passo é definir a função de cada curva. Então, dizendo que a região à esquerda é a região , a sua curva é dada por:

Já a curva da região (região à direita) é dada por:

Mas como ela possui a forma exata de um triângulo retângulo e nós sabemos as dimensões em cada variável, podemos aplicar a fórmula da área de um triângulo de forma direta. Então a sua área será dada por:

Passo 3

Com isso, vamos calcular a integral da primeira região que pode ser escrita como:

Aqui, o seu intervalo de integração está bem definido no esboço da região, tal que:

Então, resolvendo a integral:

E substituindo os intervalos de integração, temos:

Passo 4

Já para a segunda região, o cálculo é bem mais fácil:

Passo 5

Por fim, sabemos que a nossa região é dada pela interseção dessas duas regiões que consideramos. Então, a área total é a soma das áreas de cada região, ou seja: