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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.3 - Ex. 21

Calcule a integral dupla.

∬ D 2 x - y d A

D é limitada pelo círculo de centro na origem e raio 2

Passo 1

Primeiramente vamos analisar a região D , a queação do círculo dito no enunciado é

x 2 + y 2 = 4

Podemos isolar uma das variáveis, vamos isolar y

y 2 = 4 - x 2

y = ± 4 - x 2

Podemos dizer então que - 4 - x 2 ≤ y ≤ 4 - x 2 , enquanto x varia entre - r e r onde r é o raio, como r = 2 , - 2 ≤ x ≤ 2 .

Passo 2

Então temos que

∬ D 2 x - y d A = ∫ - 2 2 ∫ - 4 - x 2 4 - x 2 2 x - y   d y d x

Agora é só integrar, primeiro em relação a y

= ∫ - 2 2 2 x y - y 2 2 y = - 4 - x 2 y = 4 - x 2 d x

= ∫ - 2 2 2 x 4 - x 2 - 4 - x 2 2 2 - - 2 x 4 - x 2 - - 4 - x 2 2 2 d x

= ∫ - 2 2 4 x 4 - x 2 d x

Passo 3

Agora em relação a x , vamos fazer a substituição e esquecer os limites de integração por enquanto

u = 4 - x 2

d u = - 2 x d x

Então a integral é

∫ 4 x 4 - x 2 d x = ∫ - 2 u d u = - 2 ∫ u 1 / 2 d u

= - 2 u 3 / 2 3 / 2 + C = - 4 3 u 3 / 2 + C

Substituindo de volta

= - 4 3 ( 4 - x 2 ) 3 / 2 + C

Então temos que

∫ - 2 2 4 x 4 - x 2 d x = - 4 3 4 - x 2 3 2 x = - 2 x = 2

= - 4 3 4 - 2 2 3 2 + 4 3 4 - - 2 2 3 2 = 0

Resposta

= 0

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