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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 7m

Inverta a ordem de integração.

Passo 1

Para realizar a inversão, o primeiro passo é descobrir a região de integração e o conjunto B . Assim, visto que x varia de 0 a pi // 4 , para cada valor de x fixo em [ 0 , pi // 4 ] , y varia de 0 a t g x . Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = {(x , y) in R^2 | 0 <= x <= pi // 4 , 0 <= y <= t g x}

Passo 2

Esboçando esse conjunto obtém-se:

Assim, ao inverter a ordem de integração e reescrevendo as inequações, deixando x em função de y , resulta em:

x = t g^(- 1) y

Passo 3

Portanto, invertendo a ordem de integração temos:

int_0^(pi // 4) [int_0^(t g x) f (x , y) d y] d x = int_0^1 [int_(t g^(- 1) y)^(pi // 4) f (x , y) d x] d y

Resposta

int_0^1 [int_(t g^(- 1) y)^(pi // 4) f (x , y) d x] d y

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