Inverta a ordem de integração.

Passo 1

Para realizar a inversão, o primeiro passo é descobrir a região de integração e o conjunto B . Assim, visto que x varia de 0 a 3 , para cada valor de x fixo em [ 0 ,   3 ] , y varia de x 2 - 2 x a 3 x . Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = x ,   y ∈ R 2   |   0 ≤ x ≤ 3 ,   x 2 - 2 x ≤ y ≤ 3 x

Passo 2

Esboçando esse conjunto obtém-se:

Assim, ao inverter a ordem de integração e reescrevendo as inequações, deixando x em função de y , resulta em:

x = y 2 3

E, como a outra equação representa uma do segundo grau, deve-se descobrir as raízes dela para encontrar o valor de x :

x 2 - 2 x - y = 0 → x = 2 ± 4 + 4 y 2

Ou seja:

x = 1 ± 1 + y

Ainda, é conveniente dividir uma parte da figura em duas regiões diferentes. Logo, o esboço, com as variáveis reorganizadas, fica da forma:

Passo 3

Portanto, invertendo a ordem de integração temos:

∫ 0 3 ∫ x 2 - 2 x 3 x f x ,   y d y d x = ∫ - 1 0 ∫ 1 - 1 + y 1 + 1 + y f x ,   y d x d y + ∫ 0 3 ∫ y 2 / 3 1 + 1 + y f x ,   y d x d y

Resposta

∫ - 1 0 ∫ 1 - 1 + y 1 + 1 + y f x ,   y d x d y + ∫ 0 3 ∫ y 2 / 3 1 + 1 + y f x ,   y d x d y

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados