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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 7s

Inverta a ordem de integração.

Passo 1

Para realizar a inversão, o primeiro passo é descobrir a região de integração e o conjunto B . Assim, visto que x varia de 0 a 3 , para cada valor de x fixo em [ 0 , 3 ] , y varia de x^2 - 2 x a sqrt(3 x) . Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = {(x , y) in R^2 | 0 <= x <= 3 , x^2 - 2 x <= y <= sqrt(3 x)}

Passo 2

Esboçando esse conjunto obtém-se:

Assim, ao inverter a ordem de integração e reescrevendo as inequações, deixando x em função de y , resulta em:

x = (y^2)/(3)

E, como a outra equação representa uma do segundo grau, deve-se descobrir as raízes dela para encontrar o valor de x :

x^2 - 2 x - y = 0 -> x = (2 +- sqrt(4 + 4 y))/(2)

Ou seja:

x = 1 +- sqrt(1 + y)

Ainda, é conveniente dividir uma parte da figura em duas regiões diferentes. Logo, o esboço, com as variáveis reorganizadas, fica da forma:

Passo 3

Portanto, invertendo a ordem de integração temos:

int_0^3 [int_(x^2 - 2 x)^(sqrt(3 x)) f (x , y) d y] d x = int_(- 1)^0 [int_(1 - sqrt(1 + y))^(1 + sqrt(1 + y)) f (x , y) d x] d y + int_0^3 [int_(y^2 // 3)^(1 + sqrt(1 + y)) f (x , y) d x] d y

Resposta

int_(- 1)^0 [int_(1 - sqrt(1 + y))^(1 + sqrt(1 + y)) f (x , y) d x] d y + int_0^3 [int_(y^2 // 3)^(1 + sqrt(1 + y)) f (x , y) d x] d y

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