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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 7o

Inverta a ordem de integração.

Passo 1

Para realizar a inversão, o primeiro passo é descobrir a região de integração e o conjunto B . Assim, visto que x varia de 0 a 3 a , para cada valor de x fixo em [ 0 , 3 a ] , y varia de sqrt(3) x // 3 a sqrt(4 a x - x^2) . Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = {(x , y) in R^2 | 0 <= x <= 3 a , (sqrt(3) x)/(3) <= y <= sqrt(4 a x - x^2)}

Passo 2

Esboçando esse conjunto (usando o caso particular em que a = 1 ) obtém-se:

Assim, ao inverter a ordem de integração e reescrevendo as inequações, deixando x em função de y , resulta em:

x^2 - 4 a x + y^2 = 0 -> x = (4 a +- sqrt(16 a^2 - 4 y^2))/(2)

x = 2 a +- sqrt(4 a^2 - y^2)

E

x = sqrt(3) y

Assim, reorganizando as variáveis no esboço:

Passo 3

Portanto, invertendo a ordem de integração temos:

int_0^(3 a) [int_((sqrt(3) x)/(3))^(sqrt(4 a x - x^2)) f (x , y) d y] d x =

= int_0^(sqrt(3) a) [int_(2 a - sqrt(4 a^2 - y^2) )^(sqrt(3) y) f (x , y) d x] d y + int_(sqrt(3) a)^(2 a) [int_(2 a - sqrt(4 a^2 - y^2) )^(2 a + sqrt(4 a^2 - y^2)) f (x , y) d x] d y

Resposta

int_0^(sqrt(3) a) [int_(2 a - sqrt(4 a^2 - y^2) )^(sqrt(3) y) f (x , y) d x] d y + int_(sqrt(3) a)^(2 a) [int_(2 a - sqrt(4 a^2 - y^2) )^(2 a + sqrt(4 a^2 - y^2)) f (x , y) d x] d y

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