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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 7q

Inverta a ordem de integração.

Passo 1

Para realizar a inversão, o primeiro passo é descobrir a região de integração e o conjunto B . Assim, visto que x varia de 0 a pi // 4 , para cada valor de x fixo em [ 0 , pi // 4 ] , y varia de s e n x a c o s x . Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = {(x , y) in R^2 | 0 <= x <= pi // 4 , s e n x <= y <= c o s x}

Passo 2

Esboçando esse conjunto obtém-se:

Assim, ao inverter a ordem de integração e reescrevendo as inequações, deixando x em função de y , resulta em:

x = cos^(- 1) y

E

x = s e n^(- 1) y

Ainda, é conveniente dividir a figura em duas regiões diferentes. Logo, o esboço, com as variáveis reorganizadas, fica da forma:

Passo 3

Portanto, invertendo a ordem de integração temos:

int_0^(pi // 4) [int_(s e n x)^(c o s x) f (x , y) d y] d x = int_0^(sqrt(2) // 2) [int_0^(s e n^(- 1) y) f (x , y) d x] d y + int_(sqrt(2) // 2)^1 [int_0^(cos^(- 1) y) f (x , y) d x] d y

Resposta

int_0^(sqrt(2) // 2) [int_0^(s e n^(- 1) y) f (x , y) d x] d y + int_(sqrt(2) // 2)^1 [int_0^(cos^(- 1) y) f (x , y) d x] d y

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