3. Inverter a ordem de integração:

  1. ∫ 0 4 ∫ 0 y 2 f x , y d x d y

Passo 1

Pelos intervalos de integração, temos que:

0   ≤ x ≤ y 2 0 ≤ y ≤ 4

Desses intervalos conseguimos obter 4 informações muito importantes:

x = y 2

x = 0

y = 0

y = 4

Desenhando a região, obtemos o seguinte gráfico:

Nesse caso, temos o y variando num intervalo numérico, o que denomina uma região do tipo 2. Logo, precisamos passar para uma região do tipo 1, onde meu x varia em um intervalo numérico.

Passo 2

Observando o gráfico, conseguimos um novo intervalo numérico para x , onde:

0 ≤ x ≤ 2

Como vamos escrever uma região do tipo 1, nosso y não terá mais uma variação numérica. Para obter o novo intervalo, pegue o gráfico e imagine uma seta subindo pelo eixo y , da seguinte maneira:

Assim, a seta toca primeiro na reta e depois na outra reta, onde y = 4 . Entretanto, qual é a primeira reta??? Calma, podemos obtê-la da seguinte maneira,

x = y 2 ∴ y = 2 x

Dessa forma, temos:

0 ≤ x ≤ 2 2 x ≤ y ≤ 4

Portanto,

∫ 0 2 ∫ 2 x 4 f x , y d y d x  

Resposta

∫ 0 2 ∫ 2 x 4 f x , y d y d x

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