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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 8b

Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)

Passo 1

Pelo teorema de Fubini, tem-se que o volume de um conjunto é dado por

V = ∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Ou:

V = ∫ a b ∫ c y d y f x ,   y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x f x ,   y d y d x

Onde f x ,   y = z .

Neste caso, z é limitada por duas funções e, logo, o volume é definido pela diferença entre elas.

Além disso, B é dado no enunciado pela inequação x + y ≤ 1 . Com isso, os limites de integração podem ser dados por:

0 ≤ x ≤ 1

E

0 ≤ y ≤ 1 - x

Ou:

0 ≤ y ≤ 1

E

0 ≤ x ≤ 1 - y

Passo 2

Logo, o volume será dado por:

V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x x 2 + y 2 - 0 d y d x

V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x x 2 + y 2 d y d x

Resolvendo a integral em relação à y :

V = ∫ 0 1 x 2 y + y 3 3 | y = 1 - x y = 0 d x

Substituindo o intervalo de integração:

V = ∫ 0 1 x 2 1 - x + 1 - x 3 3 d x

V = ∫ 0 1 x 2 - x 3 + 1 - 3 x + 3 x 2 - x 3 3 d x

V = ∫ 0 1 - 4 x 3 3 + 2 x 2 - x + 1 3 d x

Passo 3

Agora, integrando em relação à x :

V = - x 4 3 + 2 x 3 3 - x 2 2 + x 3 | x = 1 x = 0

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

V = - 1 3 + 2 3 - 1 2 + 1 3

V = 1 6

Resposta

1 6

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