3. Inverter a ordem de integração:

b) int_0^1 int_(x^3)^(x^2) f (x , y) d y d x

Passo 1

Pelos intervalos de integração, temos que:

{[[0 <= x <= 1],[x^3 <= y <= x^2]])

Desses intervalos conseguimos obter 4 informações muito importantes:

x = 1

x = 0

y = x^2

y = x^3

Desenhando a região, obtemos o seguinte gráfico:

Nesse caso, temos o x variando num intervalo numérico, o que denomina uma região do tipo 1. Logo, precisamos passar para uma região do tipo 2, onde meu y varia em um intervalo numérico.

Passo 2

Observando o gráfico, conseguimos um novo intervalo numérico para y , que é obtido se pegarmos o gráfico e imaginar uma seta indo da esquerda para abaixo, como indicado no gráfico abaixo:

Considerando isso, teremos a nova variação de y, como:

0 <= y <= 1

Assim, a seta toca primeiro em x^2 e depois em x^3 . Entretanto, como podemos representar isso em função de y ???

Calma, podemos obtê-la da seguinte maneira,

y = x^2 :. x = sqrt(y)

y = x^3 :. x = root(3)(y)

Dessa forma, temos:

{[[sqrt(y) <= x <= root(3)(y)],[0 <= y <= 1]])

Portanto,

int_0^1 int_(root(3)(y))^(sqrt(y)) f (x , y) d x d y

Resposta

int_0^1 int_(root(3)(y))^(sqrt(y)) f (x , y) d x d y

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