3. Inverter a ordem de integração:

b) ∫ 0 1 ∫ x 3 x 2 f x , y d y d x

Passo 1

Pelos intervalos de integração, temos que:

0   ≤ x ≤ 1 x 3 ≤ y ≤ x 2

Desses intervalos conseguimos obter 4 informações muito importantes:

x = 1

x = 0

y = x 2

y = x 3

Desenhando a região, obtemos o seguinte gráfico:

Nesse caso, temos o x variando num intervalo numérico, o que denomina uma região do tipo 1. Logo, precisamos passar para uma região do tipo 2, onde meu y varia em um intervalo numérico.

Passo 2

Observando o gráfico, conseguimos um novo intervalo numérico para y , que é obtido se pegarmos o gráfico e imaginar uma seta indo da esquerda para abaixo, como indicado no gráfico abaixo:

Considerando isso, teremos a nova variação de y, como:

0 ≤ y ≤ 1

Assim, a seta toca primeiro em x 2 e depois em x 3 . Entretanto, como podemos representar isso em função de y ???

Calma, podemos obtê-la da seguinte maneira,

y = x 2 ∴ x = y

y = x 3 ∴ x = y 3

Dessa forma, temos:

y ≤ x ≤ y 3 0 ≤ y ≤ 1

Portanto,

∫ 0 1 ∫ y 3 y f x , y d x d y  

Resposta

∫ 0 1 ∫ y 3 y f x , y d x d y

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