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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 26

Calcule a integral indefinida.

∫ d x a x + b             a ≠ 0

Passo 1

Oie, tudo certinho por aí?

Nesse exercício, precisamos calcular a integral indefinida

∫ 1 a x + b   d x ,

com a ≠ 0 .

Pela Tabela de Integrais Indefinidas, temos que

∫ 1 x d x = ln ⁡ | x | + C ,

onde C é uma constante qualquer, certo? Mas o denominador do nosso integrando é dado pela função

a x + b

ao invés de x .

🤔 Bem, então como resolvemos essa questão?

Utilizando a Regra da Substituição para transformar a integral indefinida que queremos calcular na integral presente na Tabela, cuja fórmula para cálculo é conhecida.

Relembrando a Regra da Substituição:

Se definirmos a função derivável g x como uma variável u , ou seja, u = g ( x ) , e se a função f for contínua em seu domínio I , então vale que

∫ f g x g ' x   d x =   ∫ f u d u ,  

desde que a imagem de g ( x ) esteja contida no domínio I de f .

💡 Vamos relembrar de uma propriedade das integrais indefinidas que vai nos ajudar a resolver essa questão.

  • A integral indefinida do produto entre uma constante e uma função é o produto entre a constante e a integral indefinida da função.

∫ c f x d x = c   ∫ f x d x .

Já temos tudo o que precisamos pra resolver essa questão. Bora lá 😉!

Passo 2

Analisando com calma o integrando da integral indefinida

∫ 1 a x + b   d x ,

podemos ver que, se fizermos

u = g x =   a x + b

e

f x = 1 x ,

então

f g x = 1 a x + b .  

Além disso, derivando u em relação à variável x , temos que

d u d x = g ' x = a ,

ou seja

d u = a   d x .

Logo, substituindo os respectivos valores, vale que

∫ f g x g ' x   d x =   ∫ 1 a x + b a   d x =   a ∫ 1 a x + b   d x ,

ou seja,

1 a ∫ f g x g ' x   d x =   ∫ 1 a x + b   d x .

Sendo assim, pela Regra da Substituição temos que a integral do enunciado pode ser reescrita como

∫ 1 a x + b   d x = 1 a ∫ f u d u ,

onde

1 a ∫ f u   d u = 1 a ∫ 1 u d u .

Como o termo a apareceu no denominador, precisamos que a ≠ 0 , mas isso é dado no enunciado, beleza?

Observe que a integral da direita, em função da variável u , nós sabemos calcular!

De fato, como vimos no Passo 1 , temos que

∫ 1 u d u = ln ⁡ | u | + C 1 .

Logo,

∫ 1 a x + b   d x = 1 a ∫ 1 u d u = 1 a ( ln ⁡ | u | + C 1 ) ,    

ou seja, temos que

∫ 1 a x + b   d x = ln ⁡ | u | a + C 2 ,

onde C 2 = 1 a C 1 é uma constante qualquer.

Passo 3

⚠️ Cuidado que ainda não terminamos!

A igualdade

∫ 1 a x + b   d x = ln ⁡ | u | a + C 2

não é a resposta final, né? Pois precisamos reverter a mudança de variável que fizemos ao assumir u = g x =   a x + b .  

Fazendo isso, vamos ter que

∫ 1 a x + b   d x = ln ⁡ | u | a + C 2 =   ln ⁡ | a x + b | a + C 2   ,

ou seja, a integral do enunciado é dada por ∫ 1 a x + b   d x =   ln ⁡ | a x + b | a + C 2 .

Resposta

A integral é dada por:

∫ 1 a x + b   d x =   ln ⁡ | a x + b | a + C 2 ,

onde C 2 é uma constante qualquer.

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