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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 63

Use a Fórmula ( 27 ) para mostrar que, se o comprimento da curva equatorial em uma projeção de Mercator for L , então a distância vertical D entre as curvas de latitude α ° e β ° do mesmo lado do Equador (onde α < β ) é

D = L 2 π ln ⁡ sec ⁡ β ° + tan ⁡ β ° sec ⁡ α ° + tan ⁡ α °

Passo 1

Bom galera, para 0 < α < β e D = D β - D α , agora na integral fica:

D = L 2 π ∫ α π 180 β π 180 sec ⁡ u   d u

Passo 2

Belezinha, resolvendo a integral agora:

D = L 2 π ∫ α π 180 β π 180 sec ⁡ u   d u

→ D = L 2 π ln ⁡ sec ⁡ u + tan ⁡ u α π 180 β π 180

→ D = L 2 π ln ⁡ sec ⁡ β ° + tan ⁡ β ° sec ⁡ α ° + tan ⁡ α °

Resposta

D = L 2 π ln ⁡ sec ⁡ β ° + tan ⁡ β ° sec ⁡ α ° + tan ⁡ α °

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