Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.16 - Ex. 14
Usar o teorema da divergência para calcular a integral da superfície dada.
Sendo e a superfície exterior do sólido delimitado pelos paraboloides
e
Passo 1
O teorema da divergência relaciona uma integral tripla sobre um sólido e uma integral dupla sobre a superfície fronteira deste sólido.
Seja um sólido no espaço, limitado por uma superfície orientável . Se é a normal unitária exterior a e se é uma função vetorial contínua que possui derivadas parciais de ordem contínuas em um domínio que contém , então
Assim tendo introduzido formalmente o nosso teorema, podemos agora começar a aplica-lo e começar a nos familiarizarmos com ele.
Passo 2
Vamos começar primeiro descrever o nosso sólido.
A primeira superfície é um paraboloide de abertura , começando em . O segundo paraboloide é de abertura apontado para baixo e começando em . A intersecção ocorre em
Assim
Então os paraboloides se interceptam em
Assim temos que nossa integral vai ser definida como
Passo 3
Vamos descrever os limites de integração de cada sólido separadamente. Entretanto para ambos os paraboloides usaremos coordenadas polares.
Para o paraboloide
Temos
Como varia entre e , temos então que , enquanto .
Além disso temos que o Jacobiano da nossa transformação é
Agora o paraboloide
E sabendo como varia, temos que e .
E aqui também temos o Jacobiano igual a
E por último vamos calcular o divergente
Passo 4
Assim nossa integral pode ser escrita como
Que se resume em