Um pedaço de fio com de comprimento é cortado em duas partes. Uma parte é dobrada no formato de um quadrado, ao passo que a outra é dobrada na forma de um triângulo equilátero. Como deve ser cortado o fio de forma que a área total englobada seja:

(a) máxima?

(b) mínima?

Somando a área do quadrado com a área do triângulo, vamos ter a área total:

Lembrando que a área do quadrado é dada por:

E a área do triângulo será:

Assim, a área total será:

Calculando esse produto nos colchetes e simplificando, vamos ter:

onde, porque o fio tem de comprimento.

E essa é a expressão da área das figuras.

Como está dependendo de apenas uma variável, já é possível derivar e igualar a zero para encontrar seus pontos críticos. Como

Derivando a equação em relação a , vamos ter:

E igualando esse resultado a zero:

Aplicando a distributiva no produto:

Tirando o MMC:

Colocando em evidência:

E isolando , temos:

Como pode variar entre zero e dez, substituímos esses dois valores na equação de área, para encontrar seus valores extremos:

Agora substituindo , temos:

Só falta verificar o valor da área no ponto crítico . Assim, temos:

O Teorema de Weierstrass nos diz que uma função contínua necessariamente tem valores mínimo e máximo absolutos em um intervalo fechado. Esses valores extremos são pontos máximos ou mínimos relativos dentro do intervalo, ou pontos nas extremidades do intervalo.

Dessa forma, podemos apenas comparar os valores que obtivemos no passo anterior e verificar quais deles representam pontos de máximo ou de mínimo.

Repare que a área máxima encontrada acontece quando , e vale , ou seja, toda a corda é usada para o quadrado.

Além disso, comparando os resultados, a gente consegue perceber que a área mínima encontrada acontece quando , e vale .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉