Encontre o fluxo do campo através da superfície , orientada positivamente, união das superfícies e , onde é definida por , e tem equação ,

O enunciado pede para achar o fluxo do campo através da união entre as superfícies e , ou seja, .

Outra informação importante é que a superfície é definida por

que representa um paraboloide elíptico com concavidade para baixo com vértice localizado no ponto (). Como ele está definido em , podemos esboçar o desenho dele da seguinte forma.

Agora podemos analisar o que acontece quando ,

Chamaremos a superfície deste disco como

Sendo assim, quando temos que

E para

Assim temos duas superfícies que delimitam o sólido em e .

Se considerarmos o plano onde , temos que

Assim, quando ,

e para

A superfície é definida por

no intervalo . Assim podemos esboçar o desenho

Se liga que quando

Analisando quando , temos

Repare que esta é a mesma equação (1) encontrada para a superfície quando .

Se liga! Quando é feita a união das superfícies, e , no intervalo definido por

a superfície fica por dentro da superfície , sendo assim, quando fazemos

não incluímos a borda superior, quando , da superfície . Repare que não está inclusa em .

Considerando que temos uma superfície fechada, podemos aplicar o Teorema de Gauss.

Onde

Fazendo as derivadas parciais, temos

Podemos separar

Em

Substituindo a (4) em, (2) e usando a equação (3), temos

Agora vamos fazer a parametrização de .

Lembrando que a superfície é definida por

E para ,

No exterior do sólido, temos

Pois aponta para fora.

Como temos todos os elementos necessários, podemos montar a integral

Esta integral é a própria área da superfície , que é uma elipse de raios e . Portanto

Portanto

Agora só precisamos substituir o valor obtido na equação (5). Sendo assim, o fluxo através da superfície é