Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 28

Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.

28.

Passo 1

Vamos substituir o infinito na integral por e depois a gente aplica o limite para :

Podemos usar a regra da cadeia para resolver essa integral:

Vamos chamar de e de . Nossa integral então vai ser:

Passo 2

Agora a gente aplica os limites de integração no termo do meio:

E aplicamos o limite para :

Como dá para ver, pelo fato da função seno ser limitada e a função exponencial tender para zero, o produto todo tende para zero. Então só sobra o seguinte na integral do passo anterior:

Passo 3

Vamos então aplicar mais uma vez o método de integração por partes, chamando de e de :

Passando a última integral para o lado esquerdo, fica:

E passando o dividindo:

Aplicando os limites de integração:

E fazendo o limite para , a exponencial tende para zero enquanto a função cosseno é limitada, então o produto tende a zero, sobrando só:

E a integral converge.

Resposta

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