Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 27
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.
27.
Passo 1
Para resolvermos esse integral, e poder dizer se ela converge ou não, vamos usar o método de integração por partes:
Vamos chamar de e de , o resultado fica:
Substituindo os termos de infinito por para depois a gente aplicar o limite:
Passo 2
Antes de resolvermos a última integral, vamos ver se a primeira parte diverge, se ela já divergir, não importa o resultado da segunda, já que a soma vai divergir. Aplicando os limites:
Aplicando o limite para :
Passando o limite para dentro, já que alguns termos não dependem de :
Agora podemos usar a regra de L’Hôpital e derivar em cima e em baixo para sumir a indeterminação :
Como esse termo diverge, toda a primeira parte da integral vai divergir, então
Diverge.