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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 3.8 - Ex. 5

Seja g (x) = {[[(| x - 3 |)/(x - 3) , x != 3],[0 , x = 3]]}

  1. Esboce o gráfico de g ( x ) .
  2. Achar, se existirem underset(x -> 3^+)(lim) g (x) , underset(x -> 3^-)(lim) g (x) e underset(x -> 3)(lim) g ( x ) .

Passo 1

  1. O gráfico da função g ( x ) é dado por:

    2. Passo 2

  • Para o limite dado de x -> 3^+ , estamos analisando a função da direita para a esquerda ao longo do eixo x , logo estamos analisando os valores para x > 3 . Levando essa análise para a função, temos que para números x != 3 , ela é dada por:

    • g (x) = (| x - 3 |)/(x - 3)

    Então, para x > 3 => (|x - 3|)/(x - 3) = (x - 3)/(x - 3) = 1 .

    Assim, podemos escrever que:

    underset(x -> 3^+)(lim) g (x) = underset(x -> 3^+)(lim) (x - 3)/(x - 3) = 1

  • Para o limite dado de x -> 3^- , estamos analisando a função da esquerda para a direita ao longo do eixo x , logo estamos analisando os valores para x < 3 . Levando essa análise para a função, temos que para números x != 3 , ela é dada por:

    • g (x) = (| x - 3 |)/(x - 3)

    Então, para x < 3 => (|x - 3|)/(x - 3) = (- x + 3)/(x - 3) = - 1 .

    Assim, podemos escrever que:

    underset(x -> 3^-)(lim) g (x) = underset(x -> 3^-)(lim) (- x + 3)/(x - 3) = - 1

  • Como underset(x -> 3^-)(lim) g (x) = - 1 e underset(x -> 3^+)(lim) g (x) = 1 , concluímos que o limite de underset(x -> 3)(lim) g (x) não existe.

underset(x -> 3)(lim) g (x) ∄

Essa afirmação pode ser feita devido a definição do seguinte Teorema:

Se f é definida em um intervalo aberto contendo a exceto possivelmente no ponto a , então

underset(x -> a)(lim) f (x) = L s e e s o m e n t e s e underset(x -> a^+)(lim) f (x) = L e underset(x -> a^-)(lim) f (x) = L .

Como os limites laterais são diferentes o limite para x -> 3 não existe.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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