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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.6 - Ex. 55 b

underset(x -> 0^-)(lim) ( (x^2)/(2) - (1)/(x) )

Passo 1

Temos que calcular o limite da função quando x se aproxima de 0 pela esquerda, ou seja, x < 0 .

Como temos uma subtração de divisões, vamos deixar todo mundo com o mesmo denominador, ou seja, fazer o mmc, talquei?!

underset(x -> 0^-)(lim) ( (x^2)/(2) - (1)/(x) ) = underset(x -> 0^-)(lim) ( (2 x^3 - 1)/(2 x) )

Passo 2

Vamos para as contas!

Perceba que se aplicarmos o limite e usarmos o limite do quociente é o quociente dos limites,

underset(x -> 0^-)(lim) ( (2 x^3 - 1)/(2 x) ) = (underset(x -> 0^-)(l i m) ( 2 x^3 - 1 ))/(underset(x -> 0^-)(l i m) 2 x)

Passo 3

Usando que o limite da subtração é a subtração dos limites, temos

(underset(x -> 0^-)(l i m) ( 2 x^3 - 1 ))/(underset(x -> 0^-)(l i m) 2 x) = (underset(x -> 0^-)(l i m) 2 x^3 - underset(x -> 0^-)(l i m) 1)/(underset(x -> 0^-)(l i m) 2 x)

Passo 4

Se fuçarmos a memória, vamos lembrar que underset(x -> 0^-)(l i m) 1 = 1 , porque não dependem de x.

Substituindo essa bagaça,

(underset(x -> 0^-)(l i m) ( 2 x^3 - 1 ))/(underset(x -> 0^-)(l i m) 2 x) = (underset(x -> 0^-)(l i m) 2 x^3 - underset(x -> 0^-)(l i m) 1)/(underset(x -> 0^-)(l i m) 2 x) = (0 - 1)/(underset(x -> 0^-)(l i m) 2 x)

Perceba que o denominador se anula quando aplicamos o limite, ou seja, nosso limite tende à oo .

Vamos analisar se o limite tende para o infinito positivamente ou negativamente, certo?

Passo 5

Como se aproxima de 0 pela esquerda, ou seja, x < 0 , o numerador assume valores negatitivos, já no denominador ficaríamos com 2 > 0 multiplicado por um número negativo. Ou seja,

(n e g a t i v o)/(p o s i t i v o * n e g a t i v o) = (n e g a t i v o)/(n e g a t i v o) = p o s i t i v o

Logo,

underset(x -> 0^-)(lim) (x^2)/(2) - (1)/(x) = underset(x -> 0^-)(lim) ((2 x^3 - 1)/(2 x)) = oo

Resposta

underset(x -> 0^-)(lim) (x^2)/(2) - (1)/(x) = oo

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