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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.8 - Ex. 3

underset(x -> 0)(lim) (sin 9 x)/(sin 7 x)

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação (0)/(0) para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Primeiramente vamos aplicar a propriedade da multiplicação de limites, após vamos multiplicar e dividir o limite por 9, 7 e x para em seguida aplicar a propriedade de colocar a constante fora do limite.

(underset(x -> 0)(lim) sin 9 x) * (underset(x -> 0)(lim) (1)/(sin 7 x))

(underset(x -> 0)(lim) sin 9 x) * (9)/(9) * (underset(x -> 0)(lim) (1)/(sin 7 x)) * (7)/(7) * (x)/(x)

(9)/(7) (underset(x -> 0)(lim) (sin 9 x)/(9 x)) * (underset(x -> 0)(lim) (7 x)/(sin 7 x))

Passo 2

Agora vamos substituir 9x por u, 7x por t e mudar a aproximação desse limite de acordo com a substituição.

9 x = u , 7 x = t

x -> 0 => u -> 0 , x -> 0 => t -> 0

(9)/(7) (underset(u -> 0)(lim) (sin u)/(u)) * (underset(t -> 0)(lim) (t)/(sin t))

Passo 3

Agora vamos multiplicar e dividir o limite por (1)/(t) e aplicar a propriedade da divisão de limites.

(9)/(7) (underset(u -> 0)(lim) (sin u)/(u)) * (underset(t -> 0)(lim) (t)/(sin t)) * ((1)/(t))/((1)/(t))

(9)/(7) (underset(u -> 0)(lim) (sin u)/(u)) * ((underset(t -> 0)(l i m) 1)/(underset(t -> 0)(l i m) (sin t)/(t)))

Passo 4

Por fim utilizaremos do limite fundamental underset(x -> 0)(lim) (sin x)/(x) = 1 .

(9)/(7) (underset(u -> 0)(lim) (sin u)/(u)) * ((underset(t -> 0)(l i m) 1)/(underset(t -> 0)(l i m) (sin t)/(t)))

(9)/(7) (1) * ((1)/(1))

(9)/(7)

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (sin 9 x)/(sin 7 x) = (9)/(7)

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