Enunciado

Liste os primeiros nove termos da sequência

cos ⁡ n π 3

Essa sequência parece ter um limite? Em caso afirmativo, encontre-o. Em caso negativo, explique por quê.

Passo 1

Fala aí!! Vamos entender o que essa questão quer? Nessa questão precisamos analisar se a sequência dada no enunciado parece ter um limite e, caso pareça ter, tentar encontrar esse limite ou justificar se não existir. Beleza?

A sequência do enunciado é

a n = cos ⁡ n π 3

Então bora lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular os nove primeiros termos da sequência pra entender melhor qual é o comportamento de cada termo?

Para n = 1 :

a 1 = cos ⁡ π 3 = 1 2

Para n = 2 :

a 2 = cos ⁡ 2 π 3 = - 1 2

Para n = 3 :

a 3 = cos ⁡ π = - 1

Para n = 4 :

a 4 = cos ⁡ 4 π 3 = - 1 2

Para n = 5 :

a 5 = cos ⁡ 5 π 3 = 1 2

Para n = 6 :

a 6 = cos ⁡ 2 π = 1

Para n = 7 :

a 7 = cos ⁡ 7 π 3 = 1 2

Para n = 8 :

a 8 = cos ⁡ 8 π 3 = - 1 2

Para n = 9 :

a 9 = cos ⁡ 3 π = - 1

Se calcularmos os trinta primeiros termos dessa sequência e plotarmos num gráfico, teremos:

Se você reparar, os valores de a n não parecem tender a nenhum número, parecem mais como um ciclo que se repete.

Passo 3

Agora precisamos determinar o limite se ele existir. Se você reparar, A sequência cos ⁡ n π 3 oscila entre - 1   e 1 repetidamente à medida que n aumenta. Isso ocorre porque a função cosseno oscila entre - 1   e 1 enquanto n aumenta. Ou seja, os valores de a n não parecem tender a nenhum número, parecem mais como um ciclo que se repete. Isso acontece porque o cosseno é uma função periódica, então nunca vai existir um limite pra essa função quando n → ∞ , beleza?

Resposta

1 2 ,   - 1 2 ,   - 1 ,   - 1 2 , 1 2 ,   1 , 1 2 ,   - 1 2 ,   - 1 ,   …

l i m ⁡ n → ∞ a n não existe, pois cosseno é uma função periódica

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