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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.6 - Ex. 2

int (x + 4)/(x ( x^2 + 4 )) d x

Passo 1

Vamos arranjar a equação de forma mais conveniente para resolver as frações parcias. Esse passo é feito manipulando as funções, fazendo que ela fique de forma mais agradável para gente, geralmente usamos as raízes para reescrever as equações.

int (x + 4)/(x ( x^2 + 4 )) d x

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

(x + 4)/(x ( x^2 + 4 )) = (A (2 x) + B)/(( x^2 + 4 )) + (C)/(x)

Isolando x + 4 , vamos achar

x + 4 = ( A (4 x) + B ) x + C ( x^2 + 4 )

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = - (1)/(2) ; B = 1 ; C = 1 ;

Agora substituindo os valores de A e B temos:

(x + 4)/(x ( x^2 + 4 )) = (- (1)/(2) (2 x) + 1)/(( x^2 + 4 )) + (1)/(x)

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

int (x + 4)/(x ( x^2 + 4 )) d x = int (- (1)/(2) (2 x) + 1)/(( x^2 + 4 )) d x + int (1)/(x) d x

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

Resposta

int (x + 4)/(x (x^2 + 4)) d x = (1)/(2) t a n^(- 1) ( x // 2 ) + l n ( x ) - (1)/(2) l n ( 4 + x ^ 2 ) + c

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