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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.2 - Ex. 37

Resolva o Exercício 36, se toda secção transversal for uma circunferência.

Passo 1

Pelos dados do enunciado podemos interpretar que os 30 cm é o valor do eixo maior da elipse e que o eixo menor forma uma circunferência. Assim podemos imaginar que a bola de futebol americano tenha sido formado como um sólido de revolução, então para solucionar este problema vamos primeiro montar a elipse e em seguida montar a integral que calcule o volume pelo seu eixo de revolução.

2 a = 30 ,     2 b = 13

a = 15 ,     b = 13 2

x 2 13 2 2 + y 2 15 2 = 1

15 2 x 2 + 13 2 2 y 2 = 38025 4

Passo 2

Consideremos o eixo maior no eixo y , o menor no eixo x e o centro da elipse na origem, além disso para termos a circunferência citada vamos rotacionar em relação a   y . Agora vamos isolar x

x 2 = 1 15 2 38025 4 - 13 2 2 y 2

x = 1 15 2 38025 4 - 13 2 2 y 2

f y = x = 1 15 38025 4 - 13 2 2 y 2

A fórmula para volume de sólidos de revolução é dada como π ∫ a b f y 2 d y . O limite de integração é a variação de y , que no caso a elipse vai de - 15 ≤ y ≤ 15 .

V = π ∫ - 15 15 1 15 2 38025 4 - 13 2 2 y 2 d y

V = π 1 15 2 ∫ - 15 15 38025 4 - 13 2 2 y 2 d y

Passo 3

Tendo resolvido essa integral, vamos aplicar os valores do limite de integração no nosso resultado.

V = π 1 15 2 38025 4 y - 13 2 2 ∙ y 3 3 - 15 15  

V =   π 1 15 2 38025 4 15 - 13 2 2 ∙ 15 3 3 - 38025 4 - 15 - 13 2 2 ∙ - 15 3 3

Como - x 3 = - x 3 então podemos fazer as seguintes mudanças

V = π 1 15 2 38025 4 15 - 13 2 2 ∙ 15 3 3 + 38025 4 15 - 13 2 2 ∙ 15 3 3

V = 2 π 1 15 2 38025 4 15 - 13 2 2 ∙ 15 3 3

Agora vamos aplicar a distributiva para 1 15 2

V = 2 π 169 4 15 - 169 4 ∙ ( 15 ) 3

Agora vamos isolar 169 4

V = 2 π 169 4 15 - ( 15 ) 3

V = π 169 2 45 - 15 3

V = π 169 2 30 3

V = π 169 ∙ 5

V = 845 π   c m 3

Resposta

V = 845 π   c m 3

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