Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 64
Uma maneira de definir é dizer que e ou . Mostre que, se essa definição for adotada, então
Outra maneira de definir é dizer que e, . Mostre que, se essa definição for adotada, então
Passo 1
Fala aí, pessoal
Bom, essa questão fala sobre a definição de:
E no item a) ela pede pra gente assumir que:
Fazendo:
Ou:
Teremos que mostrar que se essa definição for adotada, então:
Ou seja, teremos que obter sua derivada.
Já no item b) a definição é um pouquinho diferente. Faremos:
Com:
E :
E para esse caso a derivada será:
Bom, então teremos que derivar de acordo com cada um dos casos, mas repare que em ambas as definições não temos o isolado. Por isso devemos fazer a derivação de maneira implícita.
Vamos ver isso acontecendo no passo a passo.
Passo 2
Começando pelo item , vamos chamar nossa função de .
Dessa forma, sabemos que para .
Agora vamos derivar ambos os lados da equação,
lembrando que é uma função de . Sendo assim, precisaremos usar a regra da caleia para o lado esquerdo da equação, fazendo a derivada da função de fora, vezes a derivada da função de dentro.
E a derivada da secante é tabelada e dada por:
Isolando , temos:
Pela identidade fundamental da trigonometria, sabemos que:
Para , temos:
Podemos reescrever então a expressão encontrada para :
Como havíamos estabelecido, , então temos:
E conseguimos provar o que queríamos.
Passo 3
Agora vamos para o item .
De maneira análoga, para , então e:
Para:
Temos:
E para:
Temos:
E prontinho, também provamos o item b)
Resposta
Como queremos mostrar, para as considerações feitas temos:
Como queremos mostrar, para as considerações feitas temos: