Se usarmos, para esse caso que
y = e^(lambda t) -> overset(˙)(y) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(y) = lambda^2 e^(lambda t)
, assim:
overset(¨)(y) - 6 overset(˙)(y) + 5 = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) - 6 lambda e^(lambda t) + 5 e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 - 6 lambda + 5) = 0
e^(lambda t) (lambda^2 - 6 lambda + 5) = 0 -> lambda^2 - 6 lambda + 5 = 0 -> lambda^2 - 6 lambda + 5 = 0
Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:
lambda^' e lambda " = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)
Para o caso dado só temos
a = 1 , b = - 6 e c = 5
, assim:
lambda^' e lambda " = (6 +- sqrt(( - 6 )^2 - 4 (1) (5)))/(2 (1)) = 3 +- (sqrt(16))/(2) = 3 +- (4)/(2) = 3 +- 2 -> lambda = 5 e lambda = 1
Passo 2
Identificados os valores de
lambda
, podemos Agora reescrever o
y
pelo teorema que diz que se temos duas raízes
lambda_1 e lambda_2
da equação característica (ou seja, a função
lambda^2 + b lambda + c = 0
), então se
lambda_1 != lambda_2
então podemos reescrever
y
como sendo:
y (t) = [A e^(lambda_1 t) + B e^(lambda_2 t)] (A , B ϵ R)
Para o nosso caso:
lambda_1 = 1 e lambda_2 = 5
Assim, substituindo os valores de
lambda_1 e lambda_2
:
y (t) = [A e^(1 t) + B e^(5 t)]