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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 1l

Resolva a equação

l ) overset(¨)(y) - 6 overset(˙)(y) + 5 = 0

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que y = e^(lambda t) -> overset(˙)(y) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(y) = lambda^2 e^(lambda t) , assim:

overset(¨)(y) - 6 overset(˙)(y) + 5 = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) - 6 lambda e^(lambda t) + 5 e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 - 6 lambda + 5) = 0

e^(lambda t) (lambda^2 - 6 lambda + 5) = 0 -> lambda^2 - 6 lambda + 5 = 0 -> lambda^2 - 6 lambda + 5 = 0

Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:

lambda^' e lambda " = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

Para o caso dado só temos a = 1 , b = - 6 e c = 5 , assim:

lambda^' e lambda " = (6 +- sqrt(( - 6 )^2 - 4 (1) (5)))/(2 (1)) = 3 +- (sqrt(16))/(2) = 3 +- (4)/(2) = 3 +- 2 -> lambda = 5 e lambda = 1

Passo 2

Identificados os valores de lambda , podemos Agora reescrever o y pelo teorema que diz que se temos duas raízes lambda_1 e lambda_2 da equação característica (ou seja, a função lambda^2 + b lambda + c = 0 ), então se lambda_1 != lambda_2 então podemos reescrever y como sendo:

y (t) = [A e^(lambda_1 t) + B e^(lambda_2 t)] (A , B ϵ R)

Para o nosso caso: lambda_1 = 1 e lambda_2 = 5

Assim, substituindo os valores de lambda_1 e lambda_2 :

y (t) = [A e^(1 t) + B e^(5 t)]

Resposta

y (t) = [A e^t + B e^(5 t)]

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