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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.5 - Ex. 74

Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica. Em dado instante, o raio da base é de 12 cm e a altura é de 8 cm. Usando diferencial, obter uma aproximação da variação do volume, se o raio da base varia para 12,5 cm e a altura para 7,8 cm. Comparar o resultado obtiado com a variação exata do volume.

Passo 1

O volume do cone é dado por uma função de duas variáveis, o raio(r) e a altura(h).De modo que, é dado pela seguinte fórmula

V   = 1 3   π r 2 h

O enunciado nos pede para usarmos uma diferencial para o volume,entao se ele nos manda quem somos nos pra contrariá - lo

d V   =   ∂ V ∂ r d r + ∂ V ∂ h   d h

∂ V ∂ r = 2 3 π r h

∂ V ∂ h = 1 3 π r 2

Portanto,

d V   = ( 2 3 π r h ) d r + ( 1 3 π r 2 )   d h

Passo 2

Pelo enunciado temos

d r = 0 , 5   ; d h = - 0 , 2

Substituindo para r = 12 e h = 8

d V   = 2 3 π × 12 × 8 0 , 5 - 1 3 π 12 2 0 , 2 = 1 12 π 5   c m 3 = 22,4 π   c m 3

Passo 3

A variação exata do volume é dado pelo ∆ V

∆ V =   1 3   π ( 12,5 ) 2 7,8 -   1 3   π 12 2 8 = 22,25 π

O valor aproximado é maior do que o valor exato

Resposta

22,4 π   c m 3

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