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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.5 - Ex. 67

Calcular a diferencial da função dada

f (x_1 , x_2 , x_3) = (x_1 + x_2 + x_3)/(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)

Passo 1

A diferencial de uma função de três variáveis, w = f ( x , y , z ) , é uma função ou transformação linear que melhor aproxima o acréscimo Delta w da variável dependente w.

Sabemos que a diferencial total de uma função de n variáveis é a soma das suas diferenciais parcias, isto é:

d f = sum_(i = 1)^n (del f)/(del x_i) d x_i

Passo 2

Pela fórmula da diferencial para funções de três variáveis, temos que

d f = (del f)/(del x_1) d x_1 + (del f)/(del x_2) d x_2 + (del f)/(del x_3) d x_3

(del f)/(del x_1) = (- x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 2 x_1 ( x_2 + x_3 ))/((x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)^2)

(del f)/(del x_2) = (- x_2^2 + x_1^2 + x_3^2 - 2 x_2 ( x_1 + x_3 ))/((x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)^2)

(del f)/(del x_3) = (- x_3^2 + x_2^2 + x_1^2 - 2 x_3 ( x_2 + x_1 ))/((x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)^2)

Portanto,

d f (x , y) = ((- x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 2 x_1 (x_2 + x_3))/((x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)^2)) d x_1 + ((- x_2^2 + x_1^2 + x_3^2 - 2 x_2 (x_1 + x_3))/((x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)^2)) d x_2

+ ((- x_3^2 + x_2^2 + x_1^2 - 2 x_3 (x_2 + x_1))/((x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)^2)) d x_3

Resposta

d f (x , y) = ((- x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 2 x_1 (x_2 + x_3))/((x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)^2)) d x_1 + ((- x_2^2 + x_1^2 + x_3^2 - 2 x_2 (x_1 + x_3))/((x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)^2)) d x_2

+ ((- x_3^2 + x_2^2 + x_1^2 - 2 x_3 (x_2 + x_1))/((x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)^2)) d x_3

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