Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 32
Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.
- Exercício 42
Passo 1
Para relembrar o que pede nesse exercício: Determine o ponto do plano que está mais próximo do ponto .
Bom, a distância do ponto a um ponto qualquer do plano, é dada pela fórmula da distância
Para achar a menor distância, podemos minimizar essa função (achar o valor mínimo dela) na restrição do ponto pertencer ao plano .
Vamos fazer a função ao quadrado para não trabalharmos com raiz. Mas temos:
Para encontrar os valores máximos e mínimos dessa função com a restrição apresentada é necessário utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Esse método consiste em encontrar pontos que pertençam a todas as curvas de nível ao mesmo tempo.
Para isso, é necessário calcular os gradientes: vetores que indicam as direção e sentido de maior variação das funções. Ele é definido como
Como os pontos de máximo e mínimo que estamos procurando pertence a mais de uma curva de nível, precisamos lembrar que o vetor gradiente é sempre perpendicular a essas curvas, de modo que
Para resolver a questão devemos primeiro encontrar a função da restrição para então calcular os vetores gradientes dessa função e resolver um sistema de equações para encontrar o pontos crítico .
Passo 2
A questão nos dá uma restrição representada por uma curva de nível dada por um plano descrito por
Podemos expressar a função da restrição da seguinte forma
Passo 3
Agora que temos as duas funções, podemos calcular suas derivadas parciais para obter seus vetores gradiente
Portanto, o vetor gradiente para é dado por
Realizando o mesmo procedimento para a função
Portanto, o vetor gradiente para é dado por
Passo 4
Como o ponto que queremos encontrar pertence à curva de nível de ambas as funções, então seus vetores gradiente serão paralelos, de modo que devemos resolver
Reescrevendo a expressão com os resultados encontrados, temos uma equação de vetores
Igualando os componentes dos vetores podemos obter um sistema de equações
Como as variáveis estão sujeitas a uma restrição , essa restrição também deve fazer parte de nosso sistema de equações
Passo 5
Isolando o no sistema obtemos
Separando as equações é mais fácil de resolver
Substituindo na última equação do sistema
E a partir disso temos . O que nos dá como ponto crítico