Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 12
Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
Passo 1
Oii, tudo bem?? Bom... o enunciado nos deu essa funçãozinha:
Queremos determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita a seguinte restrição:
A gente pode transformar essa expressão em uma função passando todo mundo para um lado da igualdade (já já você vai entender hehe):
Para determinarmos os valores, teremos que utilizar o Método dos Multiplicadores de Lagrange!!
Mas que método é esse???
Então... para determinar os valores máximo e mínimo de sujeitos à restrição (supondo que esses valores extremos existam e que sobre a superfície ), então:
Esse é o nosso multiplicador de Lagrange!!!
Se ainda ficou confuso, é o seguinte: Primeiro vamos calcular os gradientes de (ou seja, ) e depois os de (ou seja, ).
Em seguida iremos calcular o valor de utilizando a equação que você acabou de ver. Com isso, aplicando na nossa restrição encontraremos os valores de máximo e mínimo!!!
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Vamos então tirar os gradientes das nossas funções!
Primeiro vamos para a função :
Para calcular o gradiente , basta aplicarmos as derivadas parciais!!
Derivando em relação a , aplicando a regra da potência, temos:
De forma análoga, derivando em relação a :
E, derivando em relação a :
Assim, nosso gradiente é:
Passo 3
Agora vamos para a função :
Derivando com relação a , aplicando a regra da potência, obtemos:
Derivando em relação a de forma análoga:
E, por fim, derivando :
Assim, nosso gradiente é:
Passo 4
Beleza, temos nossos gradientes, agora vamos encontrar um que satisfaça a equação.
Para isso, basta aplicarmos os gradientes que encontramos no passo anterior na equação que apresentamos no Passo 1:
Daí, para satisfazermos essa igualdade entre os vetores:
Simplificando, temos:
Bom... a partir daqui vamos fazer três análises:
- Se e ;
- Se uma das variáveis for igual a zero e as outras duas forem diferentes de zero;
- Se duas das variáveis forem iguais a zero e a outra for diferente de zero.
Passo 5
Vamos para o primeiro caso:
e
Perceba que, isolando em cada equação, temos:
Perceba que:
Dessa forma, aplicando na equação da nossa restrição, obtemos:
Com isso, podemos fazer a seguinte generalização:
Aplicando esses valores em , iremos obter:
Agora vamos ver o outro caso!!! 😉
Passo 6
Agora vamos analisar o caso em que uma das variáveis for igual a zero e as outras duas forem diferentes de zero.
Vamos levar isso para os cálculos selecionando uma coordenada igual a zero e igualando as outras duas :
Assim, aplicando isso na nossa função , teremos:
Agora vamos analisar o último caso!! 😉
Passo 7
Agora vamos analisar o caso em que duas das variáveis forem iguais a zero e a outra for diferente de zero.
Vamos levar isso para os cálculos selecionando duas coordenadas iguais a zero :
Assim, aplicando isso na nossa função , teremos:
Analisando esses três casos, podemos concluir que o nosso máximo ocorre quando duas das variáveis são iguais a zero e a outra seja diferente de zero, caso em que:
Por outro lado, o nosso mínimo ocorre quando todas as coordenadas são iguais a , ou seja, o caso em que:
Prontinho! Conseguimos!
Resposta
O nosso máximo ocorre quando duas das variáveis são iguais a zero e a outra seja diferente de zero, caso em que:
Por outro lado, o nosso mínimo ocorre quando todas as coordenadas são iguais a , ou seja, o caso em que: