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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.3 - Ex. 20

O que você acha que será maior, o valor médio de ƒ ( x ,   y )   =   x y sobre o quadrado 0   ≤   x   ≤   1 ,   0   ≤   y   ≤   1 , ou o valor médio de ƒ sobre o quarto de círculo x 2   +   y 2   ≤   1 no primeiro quadrante? Calcule-os para descobrir

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Sabendo que o valor médio é dado, segundo o Teorema do valor médio:

m = 1 b - a ∫ a b 1 d - c ∫ d c d x   d y

Ou se temos área:

m = 1 A ∫ a b ∫ c d d x   d y

Teremos então para f x , y :

m f x , y = 1 ∫ 0 1 1 ∫ 0 1 x y   d x   d y

E para o quarto do círculo:

m c i r c = 1 π 4 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 x y   d y   d x

Passo 2

Para m f x , y :

  m f x , y = ∫ 0 1 ∫ 0 1 x y   d x   d y

∫ 0 1 y 2 x 2 0 1 d y

∫ 0 1 y 2 d y

1 2 1 2 y 2 0 1

1 4

Logo:

  m f x , y = 1 4

Passo 3

Para m c i r c :

m c i r c = 4 π ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 x y   d y   d x

4 π ∫ 0 1 x 2 x 2 0 1 - x 2 d y

2 π ∫ 0 1 x 1 - x 2 d x

2 π x 2 2 - 1 4 x 4 0 1

2 π 1 2 - 1 4

2 π 1 4

1 2 π

Logo:

m c i r c = 1 2 π

Vemos que:

1 4 > 1 2 π

Resposta

m f x , y = 1 4

m c i r c = 1 2 π

E

1 4 > 1 2 π

Logo:

m f x , y > m c i r c

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