Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.3 - Ex. 20
O Método dos Aniquiladores. Nos problemas de 20 a 22, consideramos outra maneira de chegar a uma forma adequada para para usar no método dos coeficientes indeterminados. O procedimento baseia-se na observação de que as funções exponenciais, polinomiais ou senoidais (ou somas e produtos de tais funções) podem ser consideradas como soluções de certas equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. É conveniente usar o símbolo para . Então, por exemplo, é uma solução de ; diz-se que o operador diferencial aniquila , ou é um aniquilador de .
Analogamente, é um aniquilador de ou , é um aniquilador de ou , e assim por diante.
20. Mostre que os operadores diferenciais lineares com coeficientes constantes comutam. Ou seja, mostre que
quaisquer que sejam a função duas vezes diferenciável e as constantes e . O resultado pode ser imediatamente estendido a qualquer número finito de fatores.
Passo 1
Fala galera!!
Para resolver essa questão, vamos considerar a seguinte operador diferencial linear:
Como e são constantes então (pois as constantes são comutativas)
Então
Assim, provamos que operadores diferenciais lineares com coeficientes constantes obedecem à lei comutativa.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)