Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.1 - Ex. 19

Em cada um dos problemas 19 e 20, verifique a equação dada.

19.

∑ n = 0 ∞ a n x - 1 n + 1 = ∑ n = 1 ∞ a n - 1 x - 1 n

Passo 1

Fala galera!!

Nessa questão, queremos provar que as duas séries são idêntica. Para isso, vamos considerar a seguinte função:

y = ∑ n = 0 ∞ a n x - 1 n + 1

Podemos expandir a função da seguinte maneira:

y = a 0 x - 1 0 + 1 + a 1 x - 1 1 + 1 + a 2 x - 1 2 + 1 + … + a n x - 1 n + 1 + …

y = a 0 x - 1 + a 1 x - 1 2 + a 2 x - 1 3 + … + a n x - 1 n + 1 + …

Passo 2

Agora, vamos considerar a seguinte função:

z = ∑ n = 1 ∞ a n - 1 x - 1 n

Aqui, podemos substituir n = k + 1 , na função acima. Assim temos:

z = ∑ k + 1 = 1 ∞ a k + 1 - 1 x - 1 k + 1

z = ∑ k = 0 ∞ a k x - 1 k + 1

Podemos expandir a função da seguinte maneira:

z = a 0 x - 1 0 + 1 + a 1 x - 1 1 + 1 + a 2 x - 1 2 + 1 + … + a k x - 1 k + 1 + …

z = a 0 x - 1 + a 1 x - 1 2 + a 2 x - 1 3 + … + a k x - 1 k + 1 + …

Passo 3

Podemos perceber que se igualamos os temos das séries y e z , eles são iguais. Assim temos:

y = z

a 0 x - 1 = a 0 x - 1

a 1 x - 1 2 = a 1 x - 1 2

a 2 x - 1 3 = a 2 x - 1 3

a n x - 1 n + 1 = a k x - 1 k + 1

Assim, podemos concluir que:

∑ n = 0 ∞ a n x - 1 n + 1 = ∑ k = 0 ∞ a k x - 1 k + 1

Voltando a substituição feita anteriormente de n = k + 1 → k = n - 1 . Temos:

∑ n = 0 ∞ a n x - 1 n + 1 = ∑ n - 1 = 0 ∞ a n - 1 x - 1 ( n - 1 ) + 1

∑ n = 0 ∞ a n x - 1 n + 1 = ∑ n = 1 ∞ a n - 1 x - 1 n

Portanto, temos que os dois somatórios são iguais.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O que é uma série de potências?
Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 0 ∞ - 1 n 4 x + 1 n
O que é uma série de potências? Como você testa uma série de potências para convergência? Quais são os possíveis resultados?
Utilize uma representação em série de s e n3 x para encontrar valores de r e s para os quais. lim x → 0 ⁡ s e n3 x x 3 + r x 2 + s = 0
Compare as precisões das aproximações s e nx≈x e s e nx≈6 x / ( 6+x ² ) ² comparando os gráficos de f( x )=s e nx-x e g ( x )=s e nx-( 6 x / ( 6+x ² ) ) ² . Descreva o que você encontrar.