O Método dos Aniquiladores. Nos problemas de 20 a 22, consideramos outra maneira de chegar a uma forma adequada para para usar no método dos coeficientes indeterminados. O procedimento baseia-se na observação de que as funções exponenciais, polinomiais ou senoidais (ou somas e produtos de tais funções) podem ser consideradas como soluções de certas equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. É conveniente usar o símbolo para . Então, por exemplo, é uma solução de ; diz-se que o operador diferencial aniquila , ou é um aniquilador de .

Analogamente, D2 + 4 é um aniquilador de ou , é um aniquilador de ou , e assim por diante.

21. Considere o problema de encontrar a forma da solução particular de

em que a expressão à esquerda do sinal de igualdade na equação está escrita de uma forma que corresponde à fatoração do polinômio característico.

(a) Mostre que e são aniquiladores, respectivamente, das parcelas à direita do sinal de igualdade na Eq. e que o operador composto aniquila ambas essas parcelas simultaneamente.

(b) Aplique o operador à Eq. e use o resultado do Problema para obter

Logo, é uma solução da equação homogênea . Resolvendo a Eq. , mostre que

em que são constantes, ainda indeterminadas.

(c) Note que , , e são soluções da equação homogênea associada à Eq. ; portanto, essas expressões não servem para resolver a equação não homogênea. Escolha, então, , , e como zero na Eq. , de modo que

Essa é a forma da solução particular da Eq. . Os valores dos coeficientes , e podem ser encontrados usando a Eq. na equação diferencial .

Primeiro vamos provar que é aniquilador de . Vamos considerar a seguinte equação:

Temos que o símbolo é o operador . Substituindo na equação temos:

Portanto, temos que

E assim provamos que é aniquilador de .

Agora, vamos provar que é aniquilador de . Vamos considerar a seguinte equação:

Temos que o símbolo é o operador . Substituindo na equação temos:

Portanto, temos que

E assim provamos que é aniquilador de .

Agora com os dois resultados acima, vamos provar que o operador composto aniquila

Considere a equação:

Podemos fazer a distributiva para os termos da equação acima. Assim temos:

Temos que pelo exercício 20, operadores diferenciais lineares com coeficientes constantes comutam. Assim temos:

Provamos nos passos anteriores que:

Logo, temos a seguinte situação:

E assim provamos que é aniquilador de .

Portanto, a afirmação é comprovada.

b) Agora, vamos aplicar o operador na equação

Aplicamos o operador nos dois dados da equação. Assim temos:

Como foi visto na letra (a), o lado direito da equação é zero. Assim temos:

Como os operadores lineares são comutativos e associativos, então:

Portanto, determina-se que  é uma solução da equação homogênea.

Agora, vamos resolver a equação

Temos que as raízes da equação característica são .

Portanto, a solução da equação acima é:

Os termos  e são constantes arbitrárias.

Portanto, a afirmação é comprovada.

c) Vamos considerar a seguinte equação:

Temos que a equação homogênea correspondente é:

As raízes da equação característica são .

Portanto, as funções e  são as soluções da equação homogênea. Portanto, os termos não são úteis para resolver equações não homogêneas. Assim, podemos escolher as constantes

Substitua os valores acima na equação

Temos que a solução particular é a seguinte:

Portanto, a afirmação é comprovada.

Para encontrar a constantes e, podemos substituir a solução particular na equação

Fazendo isso temos:

Temos que

Ao aplicarmos ela na equação diferencial acima e simplificando os resultados temos o seguinte:

Assim temos podemos retiras as seguintes equações dessa igualdade:

Resolvendo as equações, podemos encontrar que: