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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 1.2 - Ex. 6

Use o método do problema 5 para resolver a equação

d y d t = - a y + b

Passo 1

Seja a equação d y d t = - a y

Observe que a única diferença entre as Eqs. (i) e (ii) é a constante b na Eq.1. Parece razoável, portanto, supor que as soluções dessas equações diferem de apenas uma constante. Vamos testar essa hipótese tentando encontrar uma constante k tal que y   =   y 1 t + k é uma solução da Eq.1.

Passo 2

Vamos agora ver como resolvemos edo do seguinte tipo:

d y d t = - a y

Sabemos que y é função de t, portanto multiplicamos ambos os lados da equação por d t .

d y = - a y d t ⇒ d y y = - a d t   c o m   a ≠ 0

Agora, integramos ambos os lados

∫ d y y = ∫ - a d t ⇒ ln ⁡ y = - a t + C  

⇒ y 1 = c e - a t

Passo 3

Seja y   =   y 1 t + k solução da Eq.1 , portanto

y 1 ' t = - a y 1 t + k   + b

- a c e - a t =   - a c e - a t + k + b

k = b a

Logo a equação geral é

y = c e - a t + b / a

Resposta

y = c e - a t + b / a

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