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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 3b

1. Estude com relação a extremantes globais a função f x , y = x 2 - y 2 - 3 x y + x + 4 y

Passo 1

Primeiro, veremos quais são os pontos críticos.

∂ f ∂ x =   2 x - 3 y + 1 = 0                                         ∂ f ∂ y = - 2 y - 3 x + 4 = 0

∂ f ∂ x =   y = 2 3 x + 1 3                                         ∂ f ∂ y = y = - 3 2 x + 2

Igualando as funções para encontrar o ponto de encontro,

2 3 x + 1 3   = - 3 2 x + 2

2 3 x + 3 2 x   = - 1 3 + 2

13 6 x = 5 3

x = 10 13

Agora, substituindo o x para descobrir o y,

y = - 3 2 x + 2

y = - 3 2 10 13 + 2

y = - 3 1 5 13 + 2

y = - 15 13 + 2

y = 11 13

10 13 , 11 13   é   o   n o s s o   p o n t o   c r í t i c o

Passo 2

Hessiano de f,

H x , y = ∂ 2 f ∂ x 2 x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ y 2 x , y   ,   s e   H x , y = 0 ,   n a d a   s e   p o d e   a f i r m a r . s e   H x , y < 0 , p o n t o   d e   s e l a . s e   H x , y > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ,   m í n i m o   l o c a l ∂ 2 f ∂ x 2 < 0 ,   m á x i m o   l o c a l

Calculando,

f x , y = x 2 - y 2 - 3 x y + x + 4 y

∂ f ∂ x =   2 x - 3 y + 1                                         ∂ f ∂ y = - 2 y - 3 x + 4                                         ∂ f ∂ x ∂ y = ∂ f ∂ y ∂ x = - 3        

∂ 2 f ∂ x 2 = 2                                                   ∂ 2 f ∂ y 2 = - 2

H x , y = 2 - 3 - 3 - 2 = - 4 - 9 = - 13 < 0 ∴ p o n t o   d e   s e l a

Resposta

10 13 , 11 13     é     ponto de sela.

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