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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.8 - Ex. 25

Minimizando uma soma de quadrados Encontre três nú-

meros reais cuja soma seja 9 e a soma de seus quadrados seja

a menor possível.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, encontraremos três números reais cuja soma vale nove, e a soma de seus quadrados é o menor possível. Vamos lá!

Passo 2

Seja a função f e g definidas por:

f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 g ( x , y , z ) = x + y + z - 9 = 0

Passo 3

Aplicaremos o método dos multiplicadores de Lagrange para a solução deste problema. Fique atento!Para isso, calcularemos os gradientes para as duas funções:

∇ f = 2 x i + 2 y j + 3 z k ∇ g = i + j + k

Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange, temos:

∇ f = λ ∇ g 2 x i + 2 y j + 2 z k = λ ( i + j + k )

Separando as componentes, teremos:

2 x = λ 2 y = λ 2 z = λ

Passo 4

Assim, observamos que x = y = z .Voltando para a função g ( x , y , z ) = x + y + z - 9 = 0 , observamos que:

x + x + x - 9 = 0 . 

Resposta

Portanto, a resposta para o nosso exercício é x = 3 , y = 3 , z = 3 .

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