Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 9.3 - Ex. 41
Em contraste com a situação do Exercício , as experiências mostram que a reação satisfaz a lei de troca
e, portanto, para essa reação a equação diferencial torna-se
onde e e são concentrações iniciais de hidrogênio e bromo.
(a) Escreva como função de no caso em que . Use o fato de que
(b) Se escreva como uma função de . (Sugestão: ao efetuar a integração, faça a substituição )
Passo 1
Hey, galera! Aqui a gente tá num contexto de reações químicas, mas se vc não manja disso, não preocupa não, porque o enunciado já deu todas as informações “matemáticas” que precisamos. Olha só:
(a) Nesse item nos foi pedido pra encontrar como função de , e como a gente pode fazer isso? Resolvendo a equação diferencial que ele mesmo nos deu! E pra facilitar mais ainda a nossa vida, temos :
Passo 2
Note que é uma equação diferencial separável, então vamos separar cada variável de um lado e integrar, beleza?
Agora a gente faz uma substituição na primeira integral, :
Passo 3
Show! Agora a gente tem que encontrar o valor de usando o fato de que , segundo o próprio enunciado:
Agora a gente substitui o e procuramos isolar o , ok?
Multiplica os dois lados por
Passo 4
(b) Agora temos que resolver a mesma equação diferencial, mas com :
De cara assim, é difícil pensar num jeito de resolver a integral da esquerda, mas ainda bem que o enunciado deu uma dica pra gente! Vamos usar a substituição:
Bora então!
Agora vamos fazer umas manipulações pra deixar o denominador da integral com a cara de uma integral que a gente conhece:
Passo 5
Talvez você esteja achando muito trabalhoso até aqui, e quando deu uma olhada de relance no que ainda está por vir, bateu aquela vontade de desistir! Eu te entendo! Mas se você está com tempo, recomendo muito ir até o fim, e depois tentar refazer sozinho ou sozinha, pois esse é o tipo de exercício que aumenta o seu domínio de integrais, que te deixa mais perto de bater o olho numa integral e já saber como resolve. Então bora lá!
Repara a integral no final do passo anterior, veja como ela é similar à:
Então vamos tentar a substituição: :
Para descobrir quem é , usamos :
Agora é só jogar o valor de na equação e isolar o (pois o enunciado pediu em função de ):
Se você chegou até aqui, parabéns!
Resposta
(a)
(b)