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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.8 - Ex. 24

Seja D a região no espaço x y z definida pelas desigualdades

1 ≤ x ≤ 2 ,   0 ≤ x y ≤ 2 ,   0 ≤ z ≤ 1 .

Calcule

∭ D   x 2 y + 3 x y z d x d y d z

aplicando a transformação

u = x ,   v = x y ,   w = 3 z

e integrando sobre uma região apropriada no espaço u v w .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Vamos calcular integrais? Acompanhe!Seja D a região no espaço x y z definido pelas desigualdades 1 ≤ x ≤ 2,0 ≤ x y ≤ 2,0 ≤ z ≤ 1 Encontraremos então o valor da integral

∭ D   x 2 y + 3 x y z d x d y d z

Através da aplicação da transformação

u = x , v = x y , w = 3 z

E integrando sobre uma região apropriada no espaço uvw.Comece os cálculos!

Passo 2

Usando as transformações temos:

x = u y = v u z = 1 3 w

Aplicando o Jacobiano temos:

J ( u , v , w ) = 1 0 0 - v u 2 1 u 0 0 0 1 3 = 1 3 u

A transformação nos levará ao resultado:

  ∬ D     ∫   x 2 y + 3 x y z d x d y d z = ∬ C     ∫   u 2 v u + 3 u v u w 3 J ( u , v , w ) d u d v d w   ∬ D     ∫   x 2 y + 3 x y z d x d y d z = 1 3 ∫ 0 3     ∫ 0 2     ∫ 1 2     v + v w u d u d v d w   ∭ D     x 2 y + 3 x y z d x d y d z = 1 3 ∫ 0 3     ∫ 0 2     ( v + v w l n ⁡ 2 ) d v d w   ∬ D     ∫ D     x 2 y + 3 x y z d x d y d z = 1 3 ∫ 0 3     ( 1 + w l n ⁡ 2 ) v 2 2 0 2 d w   ∬ D     ∫   x 2 y + 3 x y z d x d y d z = 2 3 ∫ 0 3     ( 1 + w l n ⁡ 2 ) d w   ∬ D     ∫   x 2 y + 3 x y z d x d y d z = 2 3 w + w 2 2 l n ⁡ 2 0 3   ∬ D     ∫   x 2 y + 3 x y z d x d y d z = 2 3 3 + 9 2 l n ⁡ 2   ∬ D     ∫   x 2 y + 3 x y z d x d y d z = 2 + 3 l n ⁡ 2   ∬ D     ∫   x 2 y + 3 x y z d x d y d z = 2 + l n ⁡ 8  Portanto, temos como resposta:  ∬ D     ∫   x 2 y + 3 x y z d x d y d z = 2 + l n ⁡ 8

Resposta

Resposta nos passos.

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