Suponha que f seja uma função para a qual 0 ≤ f ( x ) ≤1 se 0 ≤ x ≤ 1. Prove que se f for contínua em [0, 1], existirá pelo menos um número c tal que f ( c ) = c . (Sugestão: se nem 0 e 1 servirem como c, então f (0)0 e f (1) g x = f x - x e aplique o teorema do valor intermediário a g em [0, 1].)

Por fim temos: g c = 0 g c = f c - c f c - c = 0 f c = c

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.7 - Ex. 60

Suponha que seja uma função para a qual 0 ≤ () ≤1 se 0 ≤ ≤ 1. Prove que se f for contínua em [0, 1], existirá pelo menos um número c tal que () = . (Sugestão: se nem 0 e 1 servirem como c, então (0) > 0 e (1) g x = f x - x e aplique o teorema do valor intermediário a em [0, 1].)

Passo 1

Pelos dados do enunciado poderíamos deduzir que (0) = 0 e (1) = 1, onde teríamos como resposta = 0 e = 1 para cada um das situações dadas, mas isso valeria somente se pudéssemos identificar como a função é. Como nenhuma dessas respostas vale vamos usar da função dada na sugestão.

Passo 2

Vamos identificar g(x) para x= 0 e x = 1, pois ele também está no intervalo [0, 1].

= 0

Pelo enunciado e como então também é verdade.

= 1

Pelo enunciado e se subtrairmos 1 dos dois lados dessa desigualdade temos uma nova desigualdade que é f(1) – 1 g 1 = f 1 - 1 então temos como verdade.

Passo 3

Podemos deduzir que no intervalo [0, 1] temos um valor de menor que 0 e outro maior que 0, assim pelo teorema do valor intermediário podemos identificar um valor de

nesse intervalo.

Resposta

Por fim temos:

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