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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.Exercícios Adicionais e Avançados - Ex. 21

Suponha que ƒ(x, y) possa ser escrita como um produto

ƒ(x, y) = F(x)G(y) de uma função de x e uma função de y.

Então a integral de ƒ sobre o retângulo R: a ≤ x ≤ b, c ≤

y ≤ d pode ser calculada também como um produto, pela

fórmula

∬ R   f ( x , y ) d A = ∫ a b     F ( x ) d x ∫ c d     G ( y ) d y .

O argumento é que

∬ R     f ( x , y ) d A   = ∫ c d     ∫ a b     F ( x ) G ( y ) d x d y   = ∫ c d     G ( y ) ∫ a b     F ( x ) d x d y   = ∫ c d     ∫ a b     F ( x ) d x G ( y ) d y   = ∫ a b     F ( x ) d x ∫ c d     G ( y ) d y .

a. Justifique as etapas de (i) a (iv).Quando for aplicável, a Equação 1 pode nos ajudar a reduzir o trabalho. Utilize-a para calcular as integrais a seguir.b. ∫ 0 l n ⁡ 2   ∫ 0 π / 2   e x c o s ⁡ y d y d x   c. ∫ 1 2   ∫ - 1 1   x y 2 d x d y

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Suponha que f ( x , y ) possa ser escrito como o produto f ( x , y ) = F ( x ) G ( y ) de uma função dependente de x apenas e uma função dependente de y apenas.

Então a integral de f sobre o retângulo R : a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d pode ser resolvida como um produto da mesma forma, pela fórmula:

∬ R   f ( x , y ) d A = ∫ a b     F ( x ) d x ∫ c d     G ( y ) d y

O argumento para isso é que:i. ∬ R   f ( x , y ) d A = ∫ s d   ∫ a b   F ( x ) G ( y ) d x d y .ii. = ∫ c d   G ( y ) ∫ a b   F ( x ) d x d y .iii. = ∫ c d   ∫ a b   F ( x ) d x G ( y ) d y .iv. = ∫ a b   F ( x ) d x ∫ c d   G ( y ) d y Nosso objetivo é responder aos seguintes itens:(a) Qual a justificativa para os passos de i. ao iv.Usaremos a equação encontrada para resolver as integrais:(b) ∫ 0 l n ⁡ 2   ∫ 0 π 2   e x c o s ⁡ y d y d x (c) ∫ 1 2   ∫ - 1 1   x y 2 d x d y Vamos para a resolução? Acompanhe!

Passo 2

(a)Os passos que temos são:i. Teorema de Fubini.ii. Tratamento de G ( y ) como uma constante.iii. Rearranjo algébrico.iv. A integral definida é um número constante.

Passo 3

(b)A integral ∫ 0 l n ⁡ 2   ∫ 0 π 2   e x c o s ⁡ y d y d x valerá então:

  ∫ 0 l n ⁡ 2     ∫ 0 π / 2     e x c o s ⁡ y d y d x = ∫ 0 l n ⁡ 2     e x d x ∫ 0 π / 2     c o s ⁡ y d y   ∫ 0 l n ⁡ 2     ∫ 0 π / 2     e x c o s ⁡ y d y d x = e l n ⁡ 2 - e 0 s e n ⁡ π 2 - s e n ⁡ 0   ∫ 0 l n ⁡ 2     ∫ 0 π / 2     e x c o s ⁡ y d y d x = ( 1 ) ( 1 )   ∫ 0 l n ⁡ 2     ∫ 0 π / 2     e x c o s ⁡ y d y d x = 1

Passo 4

(c)Já a integral ∫ 1 2   ∫ - 1 1   x y 2 d x d y valerá:

  ∫ 1 2     ∫ - 1 1     x y 2 d x d y = ∫ 1 2     1 y 2 d y ∫ - 1 1     x d x   ∫ 1 2     ∫ - 1 1     x y 2 d x d y = - 1 y 1 2 x 2 2 - 1 1   ∫ 1 2     ∫ - 1 1     x y 2 d x d y = - 1 2 + 1 1 2 - 1 2   ∫ 1 2     ∫ - 1 1     x y 2 d x d y = 0

Resposta

Resposta nos passos.

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